Feladat: 2825. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gellért Zsolt ,  Gilyén Péter ,  Horváth Péter ,  Kovács Baldvin ,  Németh Tibor ,  Ravasz Erzsébet ,  Salk Miklós ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Varga Balázs ,  Varga Dezső 
Füzet: 1995/február, 115 - 117. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó energia, Sikkondenzátor, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/szeptember: 2825. fizika feladat

Síkkondenzátor lemezeinek távolsága d=0,25 mm. A lemezeket ρ=0,8 kg/dm3 sűrűségű, εr=2,3 relatív dielektromos állandójú folyadékba merítjük. (A felületi feszültség következtében a folyadék a lemezek között megemelkedik.) Ezt követően a lemezekre U=600 V-os egyenfeszültséget kapcsolunk. Mennyivel változik a folyadékszint az előző helyzethez képest? Jellemezzük a jelenséget energetikai szempontból!
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kondenzátor szélességét l-lel, magasságát H-val, a folyadékszint magasságát pedig h-val (lásd az 1. ábrát)! A kondenzátor folyadékkal teli és folyadékmentes részét tekinthetjük két párhuzamosan kapcsolt kondenzátornak, amelyek eredő kapacitása függ a folyadékszint h magasságától:

 
1. ábra
 
C(h)=C1+C2=ε0εrlhd+ε0l(H-h)d.(1)
Ha a kondenzátorra U felszültséget kapcsolunk, lemezeire Q=CU töltés kerül, a kialakuló elektrosztatikus mező energiája pedig
Ee(h)=12U2C(h)(2)
lesz. (Mivel C a h magasság növekedtével növekszik, az elektrosztatikus energia | megadott U esetén | annál nagyobb, minél magasabban áll a folyadék a lemezek között.)
A lemezek közti ϱ sűrűségű folyadék gravitációs helyzeti energiája (az edénybeli folyadékszinthez viszonyítva)
Eg(h)=lhdϱgh2(3)
ez a mennyiség is h-nak monoton növekvő függvénye.
A folyadékot az egyszerűség kedvéért tekintsük tökéletesen nedvesítőnek, és a felületi feszültségét jelöljük σ-val. Minél nagyobb felületen érintkezik a folyadék a kondenzátor lemezeivel, annál kisebb lesz a folyadék és a szilárd fal kölcsönhatási energiája:
Ek(h)=-2lhσ.(4)

A K kapcsoló bekapcsolása előtt a rendszer (amely most a folyadékból és a kondenzátorlemezekből áll) összenergiája
EI(h)=Eg+Ek=ldϱg2h2-2lσh.(5)
Ennek a függvénynek (2. ábra) bizonyos h0-nál minimuma van. Ez a h0 érték a folyadék kezdeti (egyensúlyi) magassága, amelynek nagysága differenciálással vagy elemi úton, teljes négyzetté alakítással kapható meg:
 
2. ábra
 
EI(h)=ldϱg2(h-2σϱgd)2-2σ2lϱgd,(6)
ahonnan leolvashatjuk, hogy
h0=2σϱgd.(7)
Erre az egyensúlyi h0 magasságra az jellemző, hogy a folyadékszint feltételezett kicsiny Δh változására
ΔEI=ΔEg+ΔEk=ϱgldh0Δh-2lσΔh=0.(8)
(Ha nem így lenne, vagyis ha alkalmas előjelű kicsiny Δh szintváltozásra EI csökkenhetne, ez a változás meg is valósulna, és a felszabaduló energia hővé alakulásával a rendszer más állapotába mehetne át.)
Kapcsoljuk most be a K kapcsolót, és vizsgáljuk meg az így kialakuló rendszer energiaviszonyait h függvényében. A gravitációs és a kölcsönhatási energia mellett a kondenzátor elektromos energiáját is figyelembe véve (lásd az (1) és (2) összefüggéseket) naiv módon arra a következtetésre juthatunk, hogy a folyadékszintnek le kell süllyednie h0-hoz képest, hiszen Ee(h) annál kisebb, minél kisebb h. Meglepő módon a tényleges helyzet éppen fordított: a folyadék a kapcsoló bekapcsolása után megemelkedik!
Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a folyadék + kondenzátor rendszer állandó feszültség esetén nem tekinthető zártnak, hiszen kapcsolatban áll a teleppel. Ha valamilyen ok (jelen esetben a folyadékszint magasságának megválasztása) miatt a kondenzátor kapacitására egy kicsiny ΔC értékkel megváltozik, akkor az U felszültségű telepből ΔQ=UΔC töltés áramlik ki, s ez a telep belső (kémiai) energiáját
ΔEtelep=-UΔQ=-U2ΔC(9)
értékkel csökkenti. Az új egyensúlyi helyzetre, h1-re az jellemző, hogy
ΔEösszes=ΔEg+ΔEk+ΔEe+ΔEtelep=0,(10)
részletesebben kiírva
ϱgldh1Δh-2lσΔh+12U2ΔC-U2ΔC=0.(11)
Használjuk még ki, hogy (1) szerint
ΔC=ε0(εr-1)ldΔh,(12)
amelyet (11)-be helyettesítve
h1=2σϱgd+ε0(εr-1)U22ϱgd2(13)
adódik. Az emelkedés nagysága számszerűen
h1-h0=ε0(εr-1)U22ϱgd2=4,2mm.(14)

Vizsgáljuk meg végül, hogy mennyit változik összességében a folyadék + kondenzátor + elektromos mező + telep rendszer energiája a K kapcsoló bekapcsolása és az új egyensúlyi helyzet elérése során. Az egyes energiaváltozások:
Eg(h1)-Eg(h0)=ϱgdlh12-h022>0,Ek(h1)-Ek(h0)=-2σl(h1-h0)<0,Ee(h1)-Ee(h0)+ΔEtelep=-U22ε0(εr-1)ld(h1-h0)<0.
Ha ezeket az energiakülönbségeket összegezzük, a rendszer teljes energiájának megváltozására | algebrai átalakítások után | a következőt kapjuk:
Eösszes(h1)-Eösszes(h0)=-12ϱgdl(h1-h0)2<0.
A kapcsoló bekapcsolása után az új egyensúlyi állapotban tehát kisebb a rendszer (rendezett) energiáinak összege, mint korábban volt. Az energiakülönbség az egyensúly kialakulása közben rendezetlen formájú energiává alakul; hő fejlődik a vezetékben, illetve a súrlódási folyadékban.
 Németh Tibor (Győr, Révai M. Gimn., IV. o.t.) és
 
 Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. Az áramforrás felfogható egy igen nagy kapacitású kondenzátorként, amelyet U feszültségre töltöttek fel. A rendszer energiájának számításakor a telep energiája ezen kondenzátor elektrosztatikus energiájaként vehető figyelembe.
 Németh Tibor 

2. A K kapcsoló bekapcsolása és a kondenzátor feltöltődése után a kapcsolót akár ki is kapcsolhatjuk, s ebben az állapotban vizsgálhatjuk az egyensúlyhoz közeli állapotok energiaviszonyait. A változás kapacitású kondenzátor energiája ilyenkor Ee=12Q2C(h) módon számítható, ahol Q a kondenzátor töltése. A rendszerhez, a telep most már nem tartozik hozzá.