Kezdőlap


Feladat:	2784. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs Márton , Kovács Krisztián , Németh Tibor , Salk Miklós
Füzet:	1994/május, 283 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb hidrosztatikai nyomás, Egyéb felhajtóerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: 2784. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A labdára az $m g$ nehézségi erő, a víz által kifejtett felhajtóerő és a lyuk pereme által kifejtett nyomóerő hat. Abban a pillanatban, amikor a labda éppen elválik a lyuktól, a nyomóerő nulla, tehát a felhajtóerő éppen egyenlő a labda súlyával.
Számítsuk ki a víz által a labdára kifejtett erőt! (A külső légnyomásról megfeledkezhetünk, mert az a labda felületének minden pontjában ugyanakkora értékkel növeli meg a nyomás nagyságát, s így a labdára ható eredő erőt nem befolyásolja.) Jelöljük a labda vízbe merülő részének térfogatát $V$ -vel, ez $r$ és $R$ ismeretében nyilván egyértelműen kiszámítható: $V = V (r, R)$ . Ha a lyuk mentén, síkban képzeletben elvágnánk (s a vágás mentén befoltoznánk) a labdát, majd a csonkított labda alá is vizet engednénk, akkor a felhajtóerő nyilván

\begin{matrix} F_{1} = ϱ g \cdot V (r, R) \end{matrix}

lenne, ahol

ϱ

a víz sűrűsége. Tekintettel arra, hogy a lyuk alatt ténylegesen nincsen víz, az ott ható

\begin{matrix} F_{2} = ϱ g h \cdot r^{2} π \end{matrix}

erő ,,hiányzik'', tehát a víz által a gömbre kifejtett felhajtóerő

h

vízmagasság esetén:

\begin{matrix} F = ϱ g \cdot V (r, R) - ϱ g h \cdot r^{2} π . \end{matrix}

Látható, hogy elegendően nagy

h

esetén

F

negatív, tehát a ,,felhajtóerő'' függőlegesen lefelé mutat. Csökkentve

h

-t

F

egyre nagyobb lesz (feltételezve, hogy a labda teteje nem bukkan ki a vízből). A labda annál a

h_{0}

vízmagasságnál emelkedik fel, amelynél

F = m g

, vagyis amikor

\begin{matrix} h_{0} = \frac{V (r, R)}{r^{2} π} - \frac{m}{r^{2} π ϱ} . \end{matrix}

Táblázatból kikereshető képlet szerint a feladatban szereplő gömbszelet térfogata

\begin{matrix} V (r, R) = \frac{π}{3} [2 R^{3} + (2 R^{2} + r^{2} (\sqrt[]{R^{2} - r^{2}}], \end{matrix}

s ennek felhasználásával

\begin{matrix} h_{0} = \frac{2 R^{3}}{3 r^{2}} + \frac{2 R^{2} + r^{2}}{3 r^{2}} \sqrt[]{R^{2} - r^{2}} - \frac{m}{r^{2} π ϱ} . \end{matrix}

Ne feledkezzük el arról, hogy a fenti képlet csak addig érvényes, amíg a labda tetejét ellepi a víz, vagyis amíg

h > R + \sqrt[]{R^{2} - r^{2}}

. Ellenkező esetben

V (r, R)

képlete módosul: egy gömbréteg térfogatát kell kiszámítanunk. A kritikus

h_{0}

vízmagasságra ilyenkor egy harmadfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} \frac{3 m}{R^{2} π ϱ} = {(\frac{h_{0}}{R})}^{2} (3 \sqrt[]{R^{2} - r^{2}} - h_{0}) . \end{matrix}

Németh Tibor (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Számítsuk ki a víz által a labdára kifejtett

F

felhajtóerőt a

h

vízmagasság függvényében! Célszerű bevezetni a

cos α_{0} = r / R

és az

l = R sin α_{0} = \sqrt[]{R^{2} - r^{2}}

jelöléseket (lásd az 1. ábárt).
Az I. megoldásban szereplő gondolatmenettel, vagy esetleg a labdának víz alatti részét képzeletben vékony szeletekre vágva és a hidrosztatikai nyomásból adódó erő függőleges komponensét összegezve (integrálva) kapjuk, hogy

\begin{matrix} F (h) = {\begin{matrix} [(h - l) \frac{cos^{2} α_{0}}{2} - \frac{R}{3} (1 + sin^{3} α_{0})] \cdot 2 π R^{2} ϱ g, & ha & h > R + l, \\ [\frac{{(h - l)}^{3}}{6 R^{2}} - \frac{l^{2} (h - l)}{2 R^{2}} - \frac{l^{2}}{3 R^{2}}] \cdot 2 π R^{2} ϱ g, & ha & h < R + l . \end{matrix} \end{matrix}

Ez a függvény egy lineáris és egy harmadfokú függvényből áll össze (2. ábra).
A kritikus

h_{0}

vízmagasságot úgy kapjuk meg, hogy megkeressük, hol metszi az

F (h)

függvény az

F = m g

egyenest. Deriválással közvetlenül adódik, hogy

F (h)

a maximumát

h = 2 l

értéknél veszi fel, s a maximum értéke

4 l^{2} π ϱ / 3

. Ha a labda súlya nagyobb ennél az értéknél (amely éppen megegyezik egy

l

sugarú gömbben lévő víz súlyával), akkor a víz nem képes felemelni a labdát, bármekkora legyen is a

h

vízmagasság.

Salk Miklós (Pécs, Babits M. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján