Feladat: 2784. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balázs Márton ,  Kovács Krisztián ,  Németh Tibor ,  Salk Miklós 
Füzet: 1994/május, 283 - 285. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb hidrosztatikai nyomás, Egyéb felhajtóerő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: 2784. fizika feladat

Egy edény alján kör alakú, r sugarú nyílás van, rajta m tömegű, R sugarú labda. Ha az edényben elegendően sok víz van, a labda az edény alján marad. Óvatosan csökkentve a víz mennyiségét, egy bizonyos h0 vízmagasságnál a labda felemelkedik. Számítsuk ki h0-t!
 

I. megoldás. A labdára az mg nehézségi erő, a víz által kifejtett felhajtóerő és a lyuk pereme által kifejtett nyomóerő hat. Abban a pillanatban, amikor a labda éppen elválik a lyuktól, a nyomóerő nulla, tehát a felhajtóerő éppen egyenlő a labda súlyával.
Számítsuk ki a víz által a labdára kifejtett erőt! (A külső légnyomásról megfeledkezhetünk, mert az a labda felületének minden pontjában ugyanakkora értékkel növeli meg a nyomás nagyságát, s így a labdára ható eredő erőt nem befolyásolja.) Jelöljük a labda vízbe merülő részének térfogatát V-vel, ez r és R ismeretében nyilván egyértelműen kiszámítható: V=V(r,R). Ha a lyuk mentén, síkban képzeletben elvágnánk (s a vágás mentén befoltoznánk) a labdát, majd a csonkított labda alá is vizet engednénk, akkor a felhajtóerő nyilván
F1=ϱgV(r,R)

lenne, ahol ϱ a víz sűrűsége. Tekintettel arra, hogy a lyuk alatt ténylegesen nincsen víz, az ott ható
F2=ϱghr2π

erő ,,hiányzik'', tehát a víz által a gömbre kifejtett felhajtóerő h vízmagasság esetén:
F=ϱgV(r,R)-ϱghr2π.

Látható, hogy elegendően nagy h esetén F negatív, tehát a ,,felhajtóerő'' függőlegesen lefelé mutat. Csökkentve h-t F egyre nagyobb lesz (feltételezve, hogy a labda teteje nem bukkan ki a vízből). A labda annál a h0 vízmagasságnál emelkedik fel, amelynél F=mg, vagyis amikor
h0=V(r,R)r2π-mr2πϱ.

Táblázatból kikereshető képlet szerint a feladatban szereplő gömbszelet térfogata
V(r,R)=π3[2R3+(2R2+r2(R2-r2],

s ennek felhasználásával
h0=2R33r2+2R2+r23r2R2-r2-mr2πϱ.

Ne feledkezzük el arról, hogy a fenti képlet csak addig érvényes, amíg a labda tetejét ellepi a víz, vagyis amíg h>R+R2-r2. Ellenkező esetben V(r,R) képlete módosul: egy gömbréteg térfogatát kell kiszámítanunk. A kritikus h0 vízmagasságra ilyenkor egy harmadfokú egyenletet kapunk:
3mR2πϱ=(h0R)2(3R2-r2-h0).

Németh Tibor (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Számítsuk ki a víz által a labdára kifejtett F felhajtóerőt a h vízmagasság függvényében! Célszerű bevezetni a cosα0=r/R és az l=Rsinα0=R2-r2 jelöléseket (lásd az 1. ábárt).
Az I. megoldásban szereplő gondolatmenettel, vagy esetleg a labdának víz alatti részét képzeletben vékony szeletekre vágva és a hidrosztatikai nyomásból adódó erő függőleges komponensét összegezve (integrálva) kapjuk, hogy
F(h)={[(h-l)cos2α02-R3(1+sin3α0)]2πR2ϱg,hah>R+l,[(h-l)36R2-l2(h-l)2R2-l23R2]2πR2ϱg,hah<R+l.

Ez a függvény egy lineáris és egy harmadfokú függvényből áll össze (2. ábra).
A kritikus h0 vízmagasságot úgy kapjuk meg, hogy megkeressük, hol metszi az F(h) függvény az F=mg egyenest. Deriválással közvetlenül adódik, hogy F(h) a maximumát h=2l értéknél veszi fel, s a maximum értéke 4l2πϱ/3. Ha a labda súlya nagyobb ennél az értéknél (amely éppen megegyezik egy l sugarú gömbben lévő víz súlyával), akkor a víz nem képes felemelni a labdát, bármekkora legyen is a h vízmagasság.
Salk Miklós (Pécs, Babits M. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján