Kezdőlap


Feladat:	2782. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Kenesei Péter , Németh Tibor , Puskás Zsolt , Szép János
Füzet:	1994/november, 473. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: 2782. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraédert alkotó ellenállások elrendezése síkban ábrázolva az 1. ábrán látható.
Ezt átrendezve a 2. ábra elrendezését kaphatjuk.
a) Az ismeretlen ellenállás összesen hat helyen lehet, ezek közül szimmetria okokból négy esetben (amikor az ismeretlen ellenállás az 1, 2, 4, 5 helyeken van) az eredő ellenállás ugyanaz. Tehát összesen háromféle ellenállás mérhető.
Határozzuk meg az eredő ellenállásokat ebben a három különböző esetben!
1. eset: Az ismeretlen ellenállás a 3-as helyen van (3. ábra). Ekkor $B$ és $C$ ekvipotenciális pontok, tehát az eredő ellenállás független lesz az ismeretlen ellenállástól. Az eredő ellenállás egyszerű számolás után $R_{1} = 1$ (k $Ω$ egységben).
2. eset: Az ismeretlen ellenállás a 6-os helyen van (4. ábra). $B$ és $C$ pontok ekkor is ekvipotenciális pontok, tehát az eredő ismét független a 3-as helyen levő ellenállástól. Az eredő ellenállás egyszerű számolás után $R_{2} = \frac{2 R}{2 + R}$ [k $Ω$ ].
3. eset: Az ismeretlen ellenállás az 1, 2, 4, 5 helyek valamelyikén van (5. ábra). Ekkor a $B$ és $C$ pontok nem ekvipotenciálisak, tehát a 3-as ellenállástól is függ az eredő. Tegyük fel pl., hogy az ismeretlen ellenállás a 2-es helyen van. Ekkor az $A$ , $B$ , $C$ pontok között lévő 1, 3, 4 ellenállásból álló delta-kapcsolást alakítsuk át csillag-kapcsolássá. Az ilyen átalakításkor a következő elvet alkalmazzuk: a csillag-kapcsolásban szereplő (nyilván egyenlő) ellenállások nagyságát úgy változtatjuk meg, hogy az $A$ , $B$ , $C$ pontok közül bármely kettő között az eredő ellenállás megegyezzen a delta-kapcsoláskori eredő ellenállással. Az ily módon kapott új $1'$ , $3'$ , $4'$ ellenállások értéke egyenként 2/3 [k $Ω$ ].
Ezzel a lépéssel az ellenállás-hálózatunkat soros és párhuzamos kapcsolások kombinációjává alakítottuk (6. ábra), az eredő ellenállás tehát könnyen kiszámítható:

\begin{matrix} R_{3} = \frac{1,25 (R + 1,2)}{R + 2} [k Ω] . \end{matrix}

b) Az ismeretlen ellenállás értékének meghatározásához két mérésre van szükség. A két mérést két-két csúcs között végezzük, pl. az

A B

és

C D

pontpárokon (ld. 1. ábra). Ekkor kétféle eredményt kaphatunk. Vagy két egyforma ellenállást mérünk, vagy egyszer 1 k

Ω

-ot, egyszer más értéket. Az első esetben kétszer mértünk

R_{3}

értékét, a második esetben egyszer

R_{1}

, egyszer

R_{2}

értékét. Mivel a mérési eredményekből egyértelműen meghatározhatjuk, hogy melyik eset következett be, meg tudjuk állapítani az ismeretlen

R

ellenállás nagyságát.
c) Az ismeretlen ellenállás helyének meghatározásához három mérésre van szükség. A méréseket úgy végezzük, hogy az ellenállásmérő egyik kivezetését az egyik csúcshoz rögzítjük, másik kivezetését pedig sorra rákötjük a fennmaradó három csúcsra. Két mérés eredménye biztosan egyforma (nevezetesen

R_{3}

) lesz, a harmadik pedig ettől eltérő. Ha ez az eltérő érték nem 1 k

Ω

, akkor éppen ott a keresett ellenállás, ha pedig 1 k

Ω

, akkor az 1 k

Ω

-os pontpárral szemben helyezkedik el.