Feladat: 2782. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Kenesei Péter ,  Németh Tibor ,  Puskás Zsolt ,  Szép János 
Füzet: 1994/november, 473. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: 2782. fizika feladat

Hat, látszólag egyforma ellenállást tetraéder alakban kapcsolunk össze. Öt ellenállás 2 Ω-os, az egyik azonban ettől lényegesen különböző. Egy ohmmérővel a tetraéder bármelyik két csúcsa között megmérhetjük az eredő ellenállást. Legalább hány mérésre van szükség ahhoz, hogy megállapíthassuk, melyik ellenállás különbözik a többitől és mekkora az értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraédert alkotó ellenállások elrendezése síkban ábrázolva az 1. ábrán látható.
Ezt átrendezve a 2. ábra elrendezését kaphatjuk.
a) Az ismeretlen ellenállás összesen hat helyen lehet, ezek közül szimmetria okokból négy esetben (amikor az ismeretlen ellenállás az 1, 2, 4, 5 helyeken van) az eredő ellenállás ugyanaz. Tehát összesen háromféle ellenállás mérhető.
Határozzuk meg az eredő ellenállásokat ebben a három különböző esetben!
1. eset: Az ismeretlen ellenállás a 3-as helyen van (3. ábra). Ekkor B és C ekvipotenciális pontok, tehát az eredő ellenállás független lesz az ismeretlen ellenállástól. Az eredő ellenállás egyszerű számolás után R1=1 (kΩ egységben).
2. eset: Az ismeretlen ellenállás a 6-os helyen van (4. ábra). B és C pontok ekkor is ekvipotenciális pontok, tehát az eredő ismét független a 3-as helyen levő ellenállástól. Az eredő ellenállás egyszerű számolás után R2=2R2+R [kΩ].
3. eset: Az ismeretlen ellenállás az 1, 2, 4, 5 helyek valamelyikén van (5. ábra). Ekkor a B és C pontok nem ekvipotenciálisak, tehát a 3-as ellenállástól is függ az eredő. Tegyük fel pl., hogy az ismeretlen ellenállás a 2-es helyen van. Ekkor az A, B, C pontok között lévő 1, 3, 4 ellenállásból álló delta-kapcsolást alakítsuk át csillag-kapcsolássá. Az ilyen átalakításkor a következő elvet alkalmazzuk: a csillag-kapcsolásban szereplő (nyilván egyenlő) ellenállások nagyságát úgy változtatjuk meg, hogy az A, B, C pontok közül bármely kettő között az eredő ellenállás megegyezzen a delta-kapcsoláskori eredő ellenállással. Az ily módon kapott új 1', 3', 4' ellenállások értéke egyenként 2/3 [kΩ].
Ezzel a lépéssel az ellenállás-hálózatunkat soros és párhuzamos kapcsolások kombinációjává alakítottuk (6. ábra), az eredő ellenállás tehát könnyen kiszámítható:

R3=1,25(R+1,2)R+2[kΩ].

b) Az ismeretlen ellenállás értékének meghatározásához két mérésre van szükség. A két mérést két-két csúcs között végezzük, pl. az AB és CD pontpárokon (ld. 1. ábra). Ekkor kétféle eredményt kaphatunk. Vagy két egyforma ellenállást mérünk, vagy egyszer 1 kΩ-ot, egyszer más értéket. Az első esetben kétszer mértünk R3 értékét, a második esetben egyszer R1, egyszer R2 értékét. Mivel a mérési eredményekből egyértelműen meghatározhatjuk, hogy melyik eset következett be, meg tudjuk állapítani az ismeretlen R ellenállás nagyságát.
c) Az ismeretlen ellenállás helyének meghatározásához három mérésre van szükség. A méréseket úgy végezzük, hogy az ellenállásmérő egyik kivezetését az egyik csúcshoz rögzítjük, másik kivezetését pedig sorra rákötjük a fennmaradó három csúcsra. Két mérés eredménye biztosan egyforma (nevezetesen R3) lesz, a harmadik pedig ettől eltérő. Ha ez az eltérő érték nem 1 kΩ, akkor éppen ott a keresett ellenállás, ha pedig 1 kΩ, akkor az 1 kΩ-os pontpárral szemben helyezkedik el.