Kezdőlap


Feladat:	2764. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1995/február, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mesterséges holdak, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: 2764. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a mesterséges hold tömege jóval kisebb a Föld tömegénél, a mozgást tekinthetjük rögzített vonzócentrum körüli bolygómozgásnak. Az (erősen eltorzított) ábra jelöléseit használva felírhatjuk az energiamegmaradás és a perdület megmaradásának törvényét:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - γ \frac{M m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - γ \frac{M m}{r_{2}}, \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} m v_{1} r_{1} = m v_{2} r_{2} . \end{matrix}

(2)

Ezekből

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{2 γ M \frac{r_{2}}{r_{1} (r_{1} + r_{2})}} \end{matrix}

(3)

adódik. (3)-t az (1) energia-egyenletbe visszahelyettesítve leolvashatjuk, hogy az ellipszispályán mozgó test összenergiája

\begin{matrix} E = E_{mozgási} + E_{gravitációs} = \frac{1}{2} \cdot 2 γ M m \frac{r_{2}}{r_{1} (r_{1} + r_{2})} - γ M m \frac{1}{r_{1}} = - γ \frac{M m}{2 a}, \end{matrix}

(4)

ahol

a = (r_{1} + r_{2}) / 2

az ellipszis fél nagytengelye. Így bármely pontban

\begin{matrix} v = \sqrt[]{γ M m (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})}, \end{matrix}

(5)

r

a test és a vonzócentrum pillanatnyi távolsága.
Mesterséges holdunk pályájának nagytengelye

200 km + 900 km + 2 \cdot R_{Föld} = = 13 840 km

, így

a = 6920

km. Földközelben

r = r_{1} = 6570

km, földtávolban

r = r_{2} = 7270

km, a két pont között félúton, a kistengely egyik végpontjában

r = r_{3} = a = 6920

km. A megfelelő sebességek az (5) egyenletből számolhatók:

v_{1} = 8

km/s,

v_{2} = 7, 23

km/s és

v_{3} = 7, 6

km/s.