Feladat: 2764. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1995/február, 110 - 111. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mesterséges holdak, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/november: 2764. fizika feladat

Egy mesterséges hold a Föld felszíne felett legközelebb 200 km-re, legtávolabb 900 km-re halad. Mekkora a sebessége e két pontban és a két pont között félúton?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a mesterséges hold tömege jóval kisebb a Föld tömegénél, a mozgást tekinthetjük rögzített vonzócentrum körüli bolygómozgásnak. Az (erősen eltorzított) ábra jelöléseit használva felírhatjuk az energiamegmaradás és a perdület megmaradásának törvényét:

 
 
12mv12-γMmr1=12mv22-γMmr2,(1)
illetve
mv1r1=mv2r2.(2)
Ezekből
v1=2γMr2r1(r1+r2)(3)
adódik. (3)-t az (1) energia-egyenletbe visszahelyettesítve leolvashatjuk, hogy az ellipszispályán mozgó test összenergiája
E=Emozgási+Egravitációs=122γMmr2r1(r1+r2)-γMm1r1=-γMm2a,(4)
ahol a=(r1+r2)/2 az ellipszis fél nagytengelye. Így bármely pontban
v=γMm(2r-1a),(5)
ha r a test és a vonzócentrum pillanatnyi távolsága.
Mesterséges holdunk pályájának nagytengelye  200km+900km+2RFöld==13840km, így a=6920 km. Földközelben r=r1=6570 km, földtávolban r=r2=7270 km, a két pont között félúton, a kistengely egyik végpontjában r=r3=a=6920 km. A megfelelő sebességek az (5) egyenletből számolhatók: v1=8 km/s, v2=7,23 km/s és v3=7,6 km/s.