Kezdőlap


Feladat:	2758. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Krisztián , Major András , Németh Tibor , Pálfalvi László , Varga Dezső
Füzet:	1994/május, 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Munkatétel, Energiamegmaradás tétele, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: 2758. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúdból és a végén elhelyezkedő testből álló rendszer össztömege $M = 11 m$ , a tömegközéppontja a csúszkától $s = \frac{21}{22} l$ távolságban helyezkedik el, a tömegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenség nyomatékát pedig jelöljük $Θ = k M s^{2}$ módon, ahol $k = \frac{41}{1323} = 0,031$ . (Ez utóbbi számot pl. a Steiner-tétel segítségével számolhatjuk ki.)
a) A rendszerre ható külső erők (az $M g$ nehézségi erő és a csúszkánál fellépő $N$ nyomóerő) függőlegesek, így ─ vízszintes erő hiányában ─ a tömegközéppont egy függőleges egyenes mentén fog mozogni. Jelöljük a tömegközéppont gyorsulását $a$ -val, a rendszer szöggyorsulását pedig $β$ -val (1. ábra). A mozgásegyenletek:

\begin{matrix} M g - N = M a, & (1) \\ N \cdot s = (k M s^{2}) β . & (2) \end{matrix}

α

és

β

mennyiségek nem függetlenek egymástól, közöttük az a feltétel teremt kapcsolatot, hogy a csúszka függőleges sebessége is és gyorsulása is nulla kell legyen. A 2. ábra és 3. ábra alapján ez a következő megszorítást jelenti:

\begin{matrix} v - s ω cos α & = 0, & (3) \\ a + s ω^{2} sin α - s β cos α & = 0. & (4) \end{matrix}

Végül felírhatjuk még az energiamegmaradás egyenletét:

\begin{matrix} \frac{1}{2} M^{2} v = \frac{1}{2} (k M s^{2}) ω^{2} = M g s \cdot sin α . \end{matrix}

A fenti egyenletből

N

kifejezhető

α

függvényeként (4. ábra):

\begin{matrix} N (α) = \frac{(k + 2 - 2 cos^{2} α) k}{{(k + cos^{2} α)}^{2}} 11 m g, \end{matrix}

illetve a

cos α = 1 - x / s

összefüggés felhasználásával az

x

elmozdulás függvényeként (5. ábra):

\begin{matrix} N (x) = \frac{k (k + 2 - 2 \cdot {(1 - \frac{x}{s})}^{2})}{{[k + {(1 - \frac{x}{s})}^{2}]}^{2}} \cdot 11 m g . \end{matrix}

Látható, hogy az

N

erő a rúd függőleges helyzetének közelében erősen megnő, a legnagyobb értéke

N_{{max}_{}^{}} = 720,3 m g = 65,5 M g

.
b) Ha a súrlódási együttható elegendően kicsi, akkor a mozgás első közelítésben a fentivel helyettesíthető. Az

S (x) 7 μ N (x)

csúszási súrlódási erő

W

munkája a

N (x)

függvény görbe alatti területének

μ

-szörösével egyenlő. Ez az 5. ábráról leolvashatóan

\begin{matrix} W \approx 180 μ m g l \approx 16 μ M g l \approx 17 μ M g s . \end{matrix}

μ

elegendően kicsi lenne (pontosabban a

W < < M g s

, vagyis

μ < < 1 / 17 \approx 0,05

teljesülne), akkor a maximális kilendülést a munkatételből számíthatnánk ki:

\begin{matrix} M g s sin α_{{max}_{}^{}} = W . \end{matrix}

Például

μ = 0,005

esetén

W = 0,085 M g s

, s innen

α_{{max}_{}^{}} \approx 175^{\circ}

adódna. (A feladat kitűzőjének eredeti szándéka szerint ekkora súrlódási együtthatóval kellett volna számolni.) A megadott

μ = 0,05

értékkel számolva azt látjuk, hogy a csúszási súrlódás a rendszer mechanikai energiájának 85%-át ,,elfogyasztja'', s az inga csak

α_{{max}_{}^{}} \approx 120^{\circ}

-os szögig lendül ki. Természetesen ekkor a számolás alapját képező feltevés (az, hogy a súrlódásmentes mozgás és a tényleges mozgás nem tér el nagyon egymástól) nem indokolt, s a fenti becslés csak durva közelítésnek tekinthető.

Major András (Stuttgart, Friedrich-Eugens-Gymn., IV. o. t.) és
Pálfalvi László (Pécs, Apáczai Csere J. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján