Feladat: 2758. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kovács Krisztián ,  Major András ,  Németh Tibor ,  Pálfalvi László ,  Varga Dezső 
Füzet: 1994/május, 277. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb merev test síkmozgások, Munkatétel, Energiamegmaradás tétele, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: 2758. fizika feladat

Egy vízszintes sínen elhanyagolható tömegű csúszka mozoghat. A csúszkán levő tengelyhez egy m tömegű, l hosszúságú homogén rúd csatlakozik. A rúd másik végéhez egy 10m tömegű, kicsiny méretű testet erősítettünk. A rendszert a rúd vízszintes helyzeténél kezdősebesség nélkül magára hagyjuk.
 
 

a) Számítsuk ki és grafikusan is ábrázoljuk a csúszka és a sín között ható erőt az ábrán látható α szög, illetve a csúszka x elmozdulásának függvényében, ha a súrlódás elhanyagolható.
b) Határozzuk meg közelítőleg, hogy milyen magasra (mekkora αmax szögállásig) lendülhet át a rúd, ha a csúszka és a sín közötti csúszási súrlódási együttható μ=0,05.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúdból és a végén elhelyezkedő testből álló rendszer össztömege M=11m, a tömegközéppontja a csúszkától s=2122l távolságban helyezkedik el, a tömegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenség nyomatékát pedig jelöljük Θ=kMs2 módon, ahol k=411323=0,031. (Ez utóbbi számot pl. a Steiner-tétel segítségével számolhatjuk ki.)
a) A rendszerre ható külső erők (az Mg nehézségi erő és a csúszkánál fellépő N nyomóerő) függőlegesek, így ─ vízszintes erő hiányában ─ a tömegközéppont egy függőleges egyenes mentén fog mozogni. Jelöljük a tömegközéppont gyorsulását a-val, a rendszer szöggyorsulását pedig β-val (1. ábra). A mozgásegyenletek:

Mg-N=Ma,(1)Ns=(kMs2)β.(2)



Az α és β mennyiségek nem függetlenek egymástól, közöttük az a feltétel teremt kapcsolatot, hogy a csúszka függőleges sebessége is és gyorsulása is nulla kell legyen. A 2. ábra és 3. ábra alapján ez a következő megszorítást jelenti:

v-sωcosα=0,(3)a+sω2sinα-sβcosα=0.(4)

Végül felírhatjuk még az energiamegmaradás egyenletét:
12M2v=12(kMs2)ω2=Mgssinα.

A fenti egyenletből N kifejezhető α függvényeként (4. ábra):
N(α)=(k+2-2cos2α)k(k+cos2α)211mg,

illetve a cosα=1-x/s összefüggés felhasználásával az x elmozdulás függvényeként (5. ábra):
N(x)=k(k+2-2(1-xs)2)[k+(1-xs)2]211mg.

Látható, hogy az N erő a rúd függőleges helyzetének közelében erősen megnő, a legnagyobb értéke Nmax=720,3mg=65,5Mg.
b) Ha a súrlódási együttható elegendően kicsi, akkor a mozgás első közelítésben a fentivel helyettesíthető. Az S(x)7μN(x) csúszási súrlódási erő W munkája a N(x) függvény görbe alatti területének μ-szörösével egyenlő. Ez az 5. ábráról leolvashatóan
W180μmgl16μMgl17μMgs.

Ha μ elegendően kicsi lenne (pontosabban a W<<Mgs, vagyis μ<<1/170,05 teljesülne), akkor a maximális kilendülést a munkatételből számíthatnánk ki:
Mgssinαmax=W.

Például μ=0,005 esetén W=0,085Mgs, s innen αmax175 adódna. (A feladat kitűzőjének eredeti szándéka szerint ekkora súrlódási együtthatóval kellett volna számolni.) A megadott μ=0,05 értékkel számolva azt látjuk, hogy a csúszási súrlódás a rendszer mechanikai energiájának 85%-át ,,elfogyasztja'', s az inga csak αmax120-os szögig lendül ki. Természetesen ekkor a számolás alapját képező feltevés (az, hogy a súrlódásmentes mozgás és a tényleges mozgás nem tér el nagyon egymástól) nem indokolt, s a fenti becslés csak durva közelítésnek tekinthető.
Major András (Stuttgart, Friedrich-Eugens-Gymn., IV. o. t.) és
Pálfalvi László (Pécs, Apáczai Csere J. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján