Feladat: 2749. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fige Péter ,  G. P. ,  Horvai Péter ,  Kovács Szabolcs ,  Major András ,  Németh Tibor ,  Ravasz Erzsébet ,  Salk Miklós ,  Varga Dezső 
Füzet: 1995/január, 51 - 52. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés vízszintes felületen, Egyenletes körmozgás, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/szeptember: 2749. fizika feladat

Egy 50 cm sugarú kocsikeréknek 12 küllője van. A kerék simán gördül, tengelyének sebessége 15 m/s. Legalább mekkora sebességgel kell kilőjünk egy 20 cm hosszú nyílvesszőt, hogy az a küllők között átrepülhessen? (A nyílvessző függőleges mozgását elhanyagolhatjuk.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat nyilván egyenértékű a következővel: Mennyi ideig dughatjuk be a talajhoz képest mozdulatlanul tartott ujjunkat a gördülő kocsikerék küllői közé anélkül, hogy a küllők vagy a kerék abroncsa hozzáérne az ujjunkhoz?

 
 

Oldjuk meg ezt a feladatot grafikusan! Ragasszunk egy henger alaplapjára papírkorongot, s miközben a hengert sík asztallapon gördítjük, érintsünk hozzá a papírhoz egy (az asztalhoz képest mozdulatlanul tartott) filctollat. A toll magasságától függően az ábrán látható görbesereg valamelyik görbéjét kapjuk.
A görbék közül csak olyat választhatunk, amelyik nem metszi egyik küllőt sem, illetve ha metszi, akkor csak a metszéspontok közötti szakaszát szabad figyelembe vennünk. A leghosszabb görbét nyilván abban a határesetben kapjuk, amikor a megrajzolt görbét érinti két ‐ egymással α=360/12=30-os szöget bezáró | küllő egyenese.
Elegendően nagy korongot gördítve megkaphatjuk, hogy a nyílvesszőt a tengelytől kb. 0,52 sugárnyi távolságra belőve az annyi ideig tartózkodhat a küllők között, ameddig a kerék tengelye körülbelül 1,7 sugárnyit mozdul el. Az ehhez szükséges idő
t=1,70,5m15m/s=0,06s,
A nyílvessző sebessége tehát legalább
v=0,2m0,06s3ms
kell legyen.
 G. P. 

 
Megjegyzések. 1. A pontosabb eredmény a differenciálszámítás segítségével, illetve egy trigonometrikus egyenlet numerikus megoldásával kapható meg.
2. A kiszámított t=60ms idő alatt egy szabadon eső test függőleges elmozdulása legalább Δh=(1/2)g(t/2)25 mm, ez a nyílvessző hosszához, illetve a kerék sugarához viszonyítva valóban elhanyagolható.
3. Sokan a nyílvessző áthaladásához rendelkezésre álló időt a kerék 1/12 fordulatának idejével azonosították. Ez hibás, hiszen nem veszi figyelembe a kerék haladó mozgását.