Kezdőlap


Feladat:	2739. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horvai Péter , Nyúl László , Székely Sándor , Veres Gábor
Füzet:	1994/február, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: 2739. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rúdra ható erők: a G súlyerő, a fal N nyomóereje és a tapadási súrlódási erő, melyet az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben a $T_{1}$ és $T_{2}$ komponensekkel adhatunk meg. A csuklónál ható (ismeretlen nagyságú és irányú) X erőt nem tüntettük fel a rajzon.
A rúdra ható erők forgatónyomatéka bármely pontra és bármely tengelyre vonatkoztatva nulla kell legyen. A rúd alsó végpontján átmenő $x$ -tengelyre nézve:

\begin{matrix} T_{1} l cos α + N \cdot l sin α cos φ = G \frac{l}{2} cos α, \end{matrix}

y

-tengelyre:

\begin{matrix} N l sin α \cdot sin φ = T_{2} l cos α, \end{matrix}

s végül a

z

tengelyre vonatkoztatva:

\begin{matrix} \frac{G}{2} = T_{1} + T_{2} ctg φ . \end{matrix}

A fenti három egyenlet nem független egymástól, például (3) megkapható (1) és (2)-ből, emiatt elhagyható.
Adott

μ_{t}

tapadó súrlódási együttható mellett a rúd akkor lehet egyensúlyban, ha

\begin{matrix} T_{1}^{2} + T_{2}^{2} \leq μ_{t}^{2} N^{2} . \end{matrix}

Fejezzük ki (1)-ből és (2)-ből T megfelelő komponenseit:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{G}{2} - N tg α \cdot cos φ, \end{matrix}

\begin{matrix} T_{2} = N tg α \cdot sin φ, \end{matrix}

s helyettesítsük ezeket a (4) egyenlőtlenségbe:

\begin{matrix} N^{2} ({tg}^{2} α - μ_{t}^{2}) - N G tg α \cdot cos φ + \frac{G^{2}}{4} \leq 0. \end{matrix}

Az egyensúly feltétele tehát az, hogy találjunk olyan nemnegatív

N

-et, amelyre (adott

G, α, μ_{t}

, és

φ

mellett) a fenti egyenlőtlenség teljesül.
Ha

tg α < μ_{t}

, akkor elegendően nagy

N

-re (7) mindenképpen teljesül, tehát a rúd tetszőleges

φ

szögben megállhat (beszorulhat). Ha viszon

tg α > μ_{t}

, akkor (7) bal oldala egy felfelé nyitott parabola, az egyenlőtlenség teljesülésének feltétele tehát a valós gyökök létezése, vagyis a diszkrimináns nemnegatív volta:

\begin{matrix} G^{2} {tg}^{2} α \cdot cos^{2} φ - 4 \cdot ({tg}^{2} α - μ_{t}^{2}) \frac{G^{2}}{4} \geq 0. \end{matrix}

Innen a

φ

szögre a

\begin{matrix} μ_{t} \geq tg α \cdot sin φ \end{matrix}

feltétel adódik, ez a válasz a feladat eredeti kérdésére.
Vegyük észre, hogy a T tapadási erő irányára semmiféle megszorítást nem tettünk, csak a nagyságát korlátoztuk; ez a lényeges különbség a jelen feladat és a rúd lassú csúsztatását taglaló 2692. feladat között. Érdekes, hogy a megcsúszás határhelyzeténél, vagyis a

\begin{matrix} φ_{0} = arc sin (\frac{μ_{t}}{tg α}) \end{matrix}

szögnél (7) megoldása:

\begin{matrix} N_{0} = \frac{G}{2 tg α cos φ}, \end{matrix}

ahonnan (5) alapján

T_{1} = 0

adódik. A megcsúszás előtt tehát a súrlódási erő vízszintes.

Székely Sándor (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A rúd felülnézete a 2. ábrán látható. A fal által a rúdra kifejtett erő (N és T eredője) legfeljebb

\begin{matrix} β = arctg μ_{t} \end{matrix}

szöget zárhat be a falra merőleges egyenessel. Másrészt ezen erő vízszintes vetülete (a forgatónyomatékok egyensúlya miatt) át kell menjen a csuklón, vagyis fenn kell álljon, hogy

\begin{matrix} tg β = \frac{l sin α sin φ}{l cos α} . \end{matrix}

A fenti két egyenletből az elcsúszás határszögére éppen (9)-nek megfelelő érték adódik.

(G. P.)