Feladat: 2739. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horvai Péter ,  Nyúl László ,  Székely Sándor ,  Veres Gábor 
Füzet: 1994/február, 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/május: 2739. fizika feladat

Egy l hosszúságú homogén rúd egyik végét gömbcsuklóval rögzítjük a vízszintes talajhoz. A rúd másik vége függőleges falnak támaszkodik. A rúd a legmeredekebb helyzetében α szöget zár be a vízszintessel. A rúd és a fal között a tapadási súrlódási együttható μt.
Az ábrán látható φ szög mely értékeinél maradhat a rúd egyensúlyban?
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rúdra ható erők: a G súlyerő, a fal N nyomóereje és a tapadási súrlódási erő, melyet az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben a T1 és T2 komponensekkel adhatunk meg. A csuklónál ható (ismeretlen nagyságú és irányú) X erőt nem tüntettük fel a rajzon.
A rúdra ható erők forgatónyomatéka bármely pontra és bármely tengelyre vonatkoztatva nulla kell legyen. A rúd alsó végpontján átmenő x-tengelyre nézve:

T1lcosα+Nlsinαcosφ=Gl2cosα,
az y-tengelyre:
Nlsinαsinφ=T2lcosα,
s végül a z tengelyre vonatkoztatva:
G2=T1+T2ctgφ.
A fenti három egyenlet nem független egymástól, például (3) megkapható (1) és (2)-ből, emiatt elhagyható.
Adott μt tapadó súrlódási együttható mellett a rúd akkor lehet egyensúlyban, ha
T12+T22μt2N2.
Fejezzük ki (1)-ből és (2)-ből T megfelelő komponenseit:
T1=G2-Ntgαcosφ,
T2=Ntgαsinφ,
s helyettesítsük ezeket a (4) egyenlőtlenségbe:
N2(tg2α-μt2)-NGtgαcosφ+G240.
Az egyensúly feltétele tehát az, hogy találjunk olyan nemnegatív N-et, amelyre (adott G,α,μt, és φ mellett) a fenti egyenlőtlenség teljesül.
Ha tgα<μt, akkor elegendően nagy N-re (7) mindenképpen teljesül, tehát a rúd tetszőleges φ szögben megállhat (beszorulhat). Ha viszon tgα>μt, akkor (7) bal oldala egy felfelé nyitott parabola, az egyenlőtlenség teljesülésének feltétele tehát a valós gyökök létezése, vagyis a diszkrimináns nemnegatív volta:
G2tg2αcos2φ-4(tg2α-μt2)G240.
Innen a φ szögre a
μttgαsinφ
feltétel adódik, ez a válasz a feladat eredeti kérdésére.
Vegyük észre, hogy a T tapadási erő irányára semmiféle megszorítást nem tettünk, csak a nagyságát korlátoztuk; ez a lényeges különbség a jelen feladat és a rúd lassú csúsztatását taglaló 2692. feladat között. Érdekes, hogy a megcsúszás határhelyzeténél, vagyis a
φ0=arc sin(μttgα)
szögnél (7) megoldása:
N0=G2tgαcosφ,
ahonnan (5) alapján T1=0 adódik. A megcsúszás előtt tehát a súrlódási erő vízszintes.
Székely Sándor (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A rúd felülnézete a 2. ábrán látható. A fal által a rúdra kifejtett erő (N és T eredője) legfeljebb
β=arctgμt
szöget zárhat be a falra merőleges egyenessel. Másrészt ezen erő vízszintes vetülete (a forgatónyomatékok egyensúlya miatt) át kell menjen a csuklón, vagyis fenn kell álljon, hogy
tgβ=lsinαsinφlcosα.
A fenti két egyenletből az elcsúszás határszögére éppen (9)-nek megfelelő érték adódik.
(G. P.)