Kezdőlap


Feladat:	2689. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1993/március, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: 2689. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Pitagorasz-tétel szerint a másik befogó hossza $5 \sqrt[]{3}$ dm, a háromszög szögei pedig $30$ , $60$ és $90$ fokosak. Ha a háromszögbe írt kör sugarát $ϱ$ -val jelöljük, akkor a területet kétféleképpen kiszámítva

\begin{matrix} T = \frac{a b}{2} = ϱ \frac{a + b + c}{2}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} ϱ = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{4} m . \end{matrix}

Fejezzük ki az ábrán látható

O A

O B

és

O C

szakaszok hosszát:

\begin{matrix} O A & = \frac{ϱ}{sin 15^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} m, \\ O B & = \frac{ϱ}{sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2} m, \\ O C & = \frac{ϱ}{sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{2 \sqrt[]{2}} m, \end{matrix}

továbbá a fonalaknak a függőlegessel bezárt szögeit:

\begin{matrix} tg δ_{1} = \frac{O A}{h}, tg δ_{2} = \frac{O B}{h}, tg δ_{3} = \frac{O C}{h}, \end{matrix}

ahol

h = 12

dm a súlyos test távolsága a háromszög síkjától. A fentebb kiszámított távolságok numerikus behelyettesítése után

\begin{matrix} δ_{1} = 30, 51^{\circ}, δ_{2} = 16, 96^{\circ}, δ_{3} = 12, 17^{\circ} \end{matrix}

adódik.
A háromszög

A

B

és

C

csúcsából kiinduló fonalakban rendre

K_{1}

K_{2}

és

K_{3}

fonálerő lép fel. Ezeket az erőket az ábrán látható koordináta-rendszer szerint felbontva, a

P

pontbeli test egyensúlyának feltétele:

\begin{matrix} K_{1} \cdot sin δ_{1} \cdot sin 15^{\circ} - K_{2} \cdot sin δ_{2} \cdot cos 30^{\circ} + K_{3} \cdot sin δ_{3} \cdot sin 45^{\circ} & = 0, \\ - K_{1} \cdot sin δ_{1} \cdot cos 15^{\circ} + K_{2} \cdot sin δ_{2} \cdot sin 30^{\circ} + K_{3} \cdot sin δ_{3} \cdot cos 45^{\circ} & = 0, \\ K_{1} \cdot cos δ_{1} + K_{2} \cdot cos δ_{2} + K_{3} \cdot cos δ_{3} & = G . \end{matrix}

Ezt az egyenletrendszert megoldva végül megkapjuk a fonalakat feszítő erőket:

\begin{matrix} K_{1} = 18,63 N, K_{2} = 29,28 N, és K_{3} = 33,81 N . \end{matrix}