Feladat: 2689. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1993/március, 138 - 139. oldal  PDF file
Témakör(ök): Összetartó erők eredője, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/november: 2689. fizika feladat

Egy vízszintes, derékszögű háromszög átfogója 10 dm, az egyik befogója 5 dm. Beírt körének középpontja alatt 12 dm mélyen egy 80 N súlyú test függ a csúcspontokban rögzített fonalakon. Mekkora erő feszíti a fonalakat?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Pitagorasz-tétel szerint a másik befogó hossza 53 dm, a háromszög szögei pedig  30, 60 és 90 fokosak. Ha a háromszögbe írt kör sugarát ϱ-val jelöljük, akkor a területet kétféleképpen kiszámítva

T=ab2=ϱa+b+c2,
innen
ϱ=3-14  m.

 
 

Fejezzük ki az ábrán látható OA, OB és OC szakaszok hosszát:

OA=ϱsin15=12  m,OB=ϱsin30=3-12  m,OC=ϱsin45=3-122  m,
továbbá a fonalaknak a függőlegessel bezárt szögeit:
tgδ1=OAh,tgδ2=OBh,tgδ3=OCh,
ahol h=12 dm a súlyos test távolsága a háromszög síkjától. A fentebb kiszámított távolságok numerikus behelyettesítése után
δ1=30,51,δ2=16,96,δ3=12,17
adódik.
A háromszög A, B és C csúcsából kiinduló fonalakban rendre K1, K2 és K3 fonálerő lép fel. Ezeket az erőket az ábrán látható koordináta-rendszer szerint felbontva, a P pontbeli test egyensúlyának feltétele:

K1sinδ1sin15-K2sinδ2cos30+K3sinδ3sin45=0,-K1sinδ1cos15+K2sinδ2sin30+K3sinδ3cos45=0,K1cosδ1+K2cosδ2+K3cosδ3=G.
Ezt az egyenletrendszert megoldva végül megkapjuk a fonalakat feszítő erőket:
K1=18,63  N,K2=29,28  N,ésK3=33,81  N.