Kezdőlap


Feladat:	2681. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nyúl László
Füzet:	1993/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Energiamegmaradás, Impulzus (lendület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: 2681. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a súrlódástól eltekinthetünk és a gravitációs gyorsulás nem függ a testek tömegétől, a két test azonos nagyságú, ellentétes irányú sebességgel egyszerre ér a henger aljára; sebességük nagysága $\sqrt[]{2 g R}$ .
A testek rugalmas ütközésénél a lendület és a mechanikai energia megmarad:

\begin{matrix} (m_{2} - m_{1}) \sqrt[]{2 g R} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}, \\ \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) \cdot 2 g R = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} . \end{matrix}

Az egyenletrendszer egyik megoldása annak felel meg, hogy a testek ütközés nélkül továbbhaladnak; a bennünket érdeklő másik megoldás:

\begin{matrix} u_{1} = \frac{3 m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \sqrt[]{2 g R}, u_{2} = \frac{m_{2} - 3 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \sqrt[]{2 g R} . \end{matrix}

m_{1}

tömegű test akkor jut fel a körpálya legmagasabb pontjára, ha a pálya által a testre kifejtett nyomóerő legfeljebb a tetőponton válik nullává. Mivel a nyomóerő és a nehézségi erő eredője szolgáltatja a centripetális erőt:

\begin{matrix} F_{n y} + m_{1} g = m_{1} \frac{u^{2}}{R}, \end{matrix}

ahol

u

a test sebessége a tetőponton, a körpályán maradás feltétele:

\begin{matrix} u^{2} \geq R g . \end{matrix}

Az energiamegmaradás ismételt alkalmazásával

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} u^{2} + 2 m_{1} g R, \end{matrix}

amiből

u^{2} = u_{1}^{2} - 4 g R

, tehát az

u_{1}^{2} \geq 5 g R

egyenlőtlenség adódik. Az

u_{1}

-re korábban megkapott kifejezést behelyettesítve egyszerű számolással kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{m_{2}}{m_{1}} \geq \frac{11 + 4 \sqrt[]{10}}{13} \approx 1,82. \end{matrix}

Nyúl László (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o. t.)