Feladat: 2681. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nyúl László 
Füzet: 1993/március, 134 - 135. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmas ütközések, Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Energiamegmaradás, Impulzus (lendület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: 2681. fizika feladat

Az ábrán látható rögzített henger belső felületén az m1<m2 tömegű kisméretű testek súrlódásmentesen mozoghatnak. Kezdetben a testek egy vízszintes átmérő átellenes pontjaiban helyezkednek el.
 
 

A két testet egyszerre szabadon engedjük, ütközésük centrálisnak és tökéletesen rugalmasnak tekinthető. Legalább mekkora az m2/m1 tömegarány, ha az ütközés után a kisebb test eljut a körpálya legmagasabb pontjára?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a súrlódástól eltekinthetünk és a gravitációs gyorsulás nem függ a testek tömegétől, a két test azonos nagyságú, ellentétes irányú sebességgel egyszerre ér a henger aljára; sebességük nagysága 2gR.
A testek rugalmas ütközésénél a lendület és a mechanikai energia megmarad:

(m2-m1)2gR=m1u1+m2u2,12(m1+m2)2gR=12m1u12+12m2u22.


Az egyenletrendszer egyik megoldása annak felel meg, hogy a testek ütközés nélkül továbbhaladnak; a bennünket érdeklő másik megoldás:
u1=3m2-m1m1+m22gR,u2=m2-3m1m1+m22gR.

Az m1 tömegű test akkor jut fel a körpálya legmagasabb pontjára, ha a pálya által a testre kifejtett nyomóerő legfeljebb a tetőponton válik nullává. Mivel a nyomóerő és a nehézségi erő eredője szolgáltatja a centripetális erőt:
Fny+m1g=m1u2R,
ahol u a test sebessége a tetőponton, a körpályán maradás feltétele:
u2Rg.
Az energiamegmaradás ismételt alkalmazásával
12m1u12=12m1u2+2m1gR,
amiből u2=u12-4gR, tehát az u125gR egyenlőtlenség adódik. Az u1-re korábban megkapott kifejezést behelyettesítve egyszerű számolással kapjuk, hogy
m2m111+410131,82.

 

 Nyúl László (Kecskemét, Katona J. Gimn., IV. o. t.)