Feladat: 2650. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  Horvai Péter ,  Scherer Pál ,  Szép János 
Füzet: 1992/december, 472 - 474. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tömegközéppont megmaradása, Newton-féle gravitációs erő, Kepler III. törvénye, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: 2650. fizika feladat

Egy szabályos n-szög csúcsaiban m tömegű pontszerű testek nyugszanak. Hogyan mozog a rendszer, ha a testek között csak a gravitációs erő hat? Mennyi idő múlva ütköznek össze a testek, ha n=2,3, illetve 10?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszerre külső erők nem hatnak, így a tömegközéppontja nyugalomban marad. Szimmetria-okokból nyilvánvaló, hogy mindegyik tömegpont a sokszög középpontja felé mozog (nem egyenletes gyorsulással), s az alakzat minden időpillanatban szabályos n-szög marad.

 
 

1. ábra
 

Legyen először n=2. A testek mozgásegyenlete az 1. ábra jelöléseivel
ma=F(x,)
ahol
F(x)=γm24x2=γ(m/4)mx2,(1)
Az egyes tömegpontok tehát éppen úgy mozognak, mintha egy M=m/4 tömegű rögzített test vonzaná őket.
 
 

2. ábra
 

Közelítsük a tömegpont ténylegesen egyenesvonalú mozgását egy nagyon kicsiny kistengelyű ellipszipálya menti mozgással  (2. ábra)! Ha az m tömegű test R/2 távolságból indul a rögzített vonzócentrum felé, akkor az O pontba zuhanásának ideje éppen fele az R/4 félnagytengelyű ellipszispályán való mozgás T1 keringési idejének:
T=T1/2.(2)
Másrészt egy R/2 sugarú körpályán mozgó test T2 keringési idejére a mozgásegyenlet alapján fennáll, hogy
mR2(2πT2)2=γm(m/4)(R/2)2.(3)
Kepler III. törvényét alkalmazva:
(T1T2)2=(R/4R/2)3,(4)

ahonnan (2) és (3) felhasználásával
Tn=2=π4R3γmadódik.

 
 

3. ábra
 

Oldjuk meg most a feladatot tetszőleges n -re! Ha a testek éppen x távol vannak a sokszög középpontjától, akkor  a 3. ábra jelöléseivel a P pontbeli testre ható eredő erő ‐ amely a szimmetria miatt nyilván az O pont felé mutat ‐
F=nk=1Fksinαk=γm24x2k=1n1sin(kπ/n).
Látható, hogy a rendszer minden egyes eleme úgy mozog, mintha csak egyetlen egy, az O pontban rögzített és
Mn=m4k=1n1sin(kπ/n)
tömegű test vonzaná a távolság négyzetével fordítottan arányos erővel.
A kérdéses esetekhez tartozó "látszólagos'' tömegek numerikus értékei:
M2=m/4=0,25m;M3=m/3=0,57m;M10=3,49m.
A megfelelő esési idők Kepler III. törvényének felhasználásával az n=2 esethez hasonlóan számíthatók. Ha a legközelebbi testek kezdetben R távol voltak egymástól, akkor az összeütközésig eltelő idők:
Tn=3=0,64R3γm,illetveTn=10=1,22R3γm.

 

Szép János (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján