Feladat: 2519. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Matolcsi Máté 
Füzet: 1991/május, 234 - 235. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/november: 2519. fizika feladat

Egy könnyű rugó egyik végét a mennyezethez rögzítjük, másik végére egy 0,2kg tömegű testet erősítünk. Erről a testről cérnaszálon lóg le egy másik, 0,2kg tömegű test. A rugó megnyúlása a két test együttes hatására 36cm. Ezután a felső testet 12cm-rel feljebb emeljük, majd elengedjük. A testek előbb lefelé mozdulnak el, majd újra emelkedni kezdenének, de ekkor elszakad a cérna.
Ábrázoljuk a két test egymáshoz viszonyított sebességét és gyorsulását az idő függvényében!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A cérna a lefelé mozgás során feszes, az elszakadásig a két test egymáshoz képest nem mozog. Az elszakadás fél periódusnyi lengés után következik be. A rugóállandó D=4N/0,36m=11N/m, ennek megfelelően a lengésidő T=2π0,4kg/(11N/m)=1,2s, tehát az elszakadásig t0=0,6s telik el. Az elszakadás pillanatában mind a két test sebessége nulla. Az alsó test ezután szabadon esik, a felső pedig harmonikus rezgésbe kezd, de új amplitúdóval, az ő egyensúlyi helyzete ugyanis 18 cm-es megnyúláshoz tartozik, és ettől az elszakadás pillanatában A=36cm+12cm-18cm=30cm távol van. Az új körfrekvencia:

ω=11N/m0,2kg=7,4s-1.

 
 

 
 

Ha lefelé választjuk a pozitív irányt, akkor a rezgőmozgást végző test gyorsulása a1=-Aω2cosω(t-t0), a sebessége pedig v1=-Aωsinω(t-t0). A szabadon eső testre a2=g és v2=gt. A keresett függvények tehát:
a2-a1=g+Aω2cosω(t-t0)
és
v2-v1=g(t-t0)+Aωsinω(t-t0),
ha t>t0, előtte pedig mindkettő nulla.
Numerikusan (SI-egységeket használva):
a2-a1=10+16cos[7,4(t-0,6)]
és
v2-v1=10(t-0,6)+2,2sin[7,4(t-0,6)],
ha t>0,6, előtte mindkettő nulla.
 
 Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján