Feladat: 2518. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Matolcsi Máté 
Füzet: 1991/május, 234. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Tömegközéppont helye, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/november: 2518. fizika feladat

Homogén anyagból készült R sugarú félgömbből és H magasságú hengerből álló testnek milyen R/H aránynál stabil az ábrán látható egyensúlyi helyzete?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyensúlyi helyzet akkor stabil, ha kicsiny kitérítés hatására a test súlypontja magasabbra kerül. Egyszerű geometriai megfontolásból adódik, hogy ha az alakzat S pontja az O középpontnál alacsonyabban van, akkor kicsiny kitérítésekre S emelkedik, így az egyensúly stabil, míg ha S O-nál magasabban van, akkor bármilyen kicsiny kitérítés hatására S lejjebb kerül, így az egyensúly nem stabil.
Azt a határesetet kell megkeresnünk, amikor S és O egybeesik.
Ismert, hogy a tömör félgömb S1 súlypontja az O-n átmenő függőleges tengelyen van és OS1¯=38R, továbbá a henger S2 súlypontja ugyanezen a függőleges tengelyen található, és OS2¯ = 12H.
Ha S=O, akkor teljesül az

OS2¯M2=OS1¯M1(1)


egyenlet, ahol M1 és M2 a félgömb, illetve a henger tömege. A homogenitás miatt
M1M2=V1V2=2πR3/3R2πH.

Mindezt behelyettesítve (1)-be R/H=2 adódik. Tehát ha R/H>2, akkor az egyensúly stabil, ellenkező esetben pedig instabil.
 
 Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)