Feladat: 2459. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/december, 471 - 472. oldal  PDF file
Témakör(ök): Impulzusmegmaradás törvénye, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Folyadékok, szilárd testek fajhője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/február: 2459. fizika feladat

Két egyenlő hőmérsékletű ólomgolyó v relatív sebességgel közeledik egymás felé. Rugalmatlanul összeütköznek és felmelegednek.
A tömegek milyen aránya esetén lesz maximális ez a felmelegedés?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két golyó együttes tömege m, az első golyó tömege xm, a másodiké (1-x)m (0x1). Rögzítsük koordinátarendszerünket a két golyó tömegközéppontjához, ez egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, tehát inerciarendszer. Ebben a rendszerben a tökéletesen rugalmatlan ütközés utáni közös sebesség zérus.
Az ütközés előtt az összimpulzus nulla, így a v1 és v2 ütközés előtti sebességekre az impulzustételből:

(xm)v1+(1-x)mv2=0.


A relatív sebesség v, így:
v2-v1=v.


A két egyenletből kapjuk, hogy
v1=(1-x)v  ésv2=-xv.


Az ütközés előtti és utáni mozgási energiák különbsége fordítódik a golyók melegítésére. Mivel az ütközés utáni sebesség nulla:
ΔE=12(xm)v12+12(1-x)mv22=12mx(1-x)v2.


A felmelegedés,
ΔT=Qcm=ΔEcm=v22cx(1-x),


c az ólom fajhője.
ΔT akkor maximális, amikor x(1-x) maximális, ami, például a számtani-mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint (x(1-x)x+1-x2) x=12-nél következik be.
Tehát a felmelegedés akkor maximális, ha a golyók tömege egyenlő, a maximális felmelegedés ΔT=18v2c.