Feladat: 2443. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bak János ,  Dömötör Ákos ,  Horváth Ákos ,  Zóka Gábor 
Füzet: 1990/november, 417 - 420. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bernoulli-törvény, Adiabatikus állapotváltozás, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/december: 2443. fizika feladat

Becsüljük meg, mekkora impulzust kap az ábra szerinti, kis nyílású, hőszigetelő falú tartály, ha a belsejében található levegővel hirtelen Q hőt közlünk! (Kezdetben a tartályban normál állapotú levegő egyensúlyban van a külső levegővel. V=20 liter, Q=200 J.)
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A tartály akkor kap impulzust, amikor a levegő molekulái a falaknak ütközve visszapattannak. Zárt tartály esetén az így kapott impulzusok eredője 0, nyitott tartálynál azonban a nyílásnál ,,elvész'' az impulzus, a tartály a kiáramló levegő által elvitt impulzussal azonos nagyságú, ellentétes irányú impulzust nyer, mint egy rakéta. Ha a hőközlés olyan gyors, hogy ezalatt a nyíláson nem áramlik ki levegő, akkor impulzust csak a hőközlés után kap a tartály. A hőközlés alatt munkavégzés nem történik, tehát

Q=ΔE=f2NkΔTésVΔp=NkΔT,
amiből
Δp=2QfV=4000Pa,
(a levegőre f=5).
Δp lényegesen kisebb, mint a külső légnyomás, ezért a levegő áramlását a folyadékáramlásoknál megismert törvényekkel közelíthetjük (elhanyagolva ezzel a levegő sűrűségváltozását). A Bernoulli-egyenlet szerint
12ϱv2+ϱgh+p=állandó.
Esetünkben a ϱgh ‐ helyzeti energia jellegű ‐ tagot elhanyagolhatjuk, ezért a levegő kiömlési sebessége,
v=2Δpϱ.

Kiszámítjuk, mennyi az a ,,felesleges'' levegő, amelynek kiáramlása után a tartályban visszaáll a külső p0 nyomás. Az egyszerűség kedvéért tekintsük a levegő tágulását izoterm folyamatnak. A hőközlés után közvetlenül
(p0+Δp)V=mMRT,(1)
a kiáramlás megszűnése után
p0V=m-ΔmMRT.
A két egyenletből
Δm=mp0+ΔpΔpmΔpp0,
kihasználtuk, hogy
Δpp0.
Mivel a tartály fala hőszigetelő, ezért a levegő tágulása sokkal inkább tekinthető adiabatikus folyamatnak. Ekkor a kiáramlás megszűnte után
p0V=m-ΔmMR(T-ΔT).(2)
ΔT-t ki kell fejeznünk Δp-vel. Adiabatikus folyamatokra
pVκ=állandóésp(1/κ)-1T=állandó.
A második egyenlőségből
(1κ-1)p(1/κ)-2ΔpT+p(1/κ)-1ΔT=0,
azaz
ΔT=κ-1κTΔpp.
ΔT-nek ezt a kifejezését a (2) egyenletbe helyettesítve, azt kivonva az (1) egyenletből és a másodrendűen kis tagokat elhagyva azt kapjuk, hogy
Δm=mκΔpp0.

Az adiabatikus és izotermikus eredmény 1/κ szorzótényezőben különbözik egymástól. A levegőre κ=75, ezért számértékben a különbség nem nagy.
Sajnos Δp ‐ és ezzel V ‐ időben változik (csökken), az időfüggést csak kissé haladottabb matematikai módszerek segítségével tudjuk meghatározni (lásd a II. megoldást). Azonban csak becslést kell adnunk, ezért számoljunk úgy, mintha az egész Δm tömeg a kezdeti sebességgel áramlana ki a tartályból. Így az elvitt impulzus
ΔP=Δmv=mκΔpp02Δpϱ=4κp0ϱV(O¯f)3/20,06kg ms.

II. megoldás. Az I. megoldásban eljutottunk addig, hogy ‐ a levegő sűrűségváltozását elhanyagolva ‐ a kiömlési sebesség
v=2Δpϱ,(1)
és a nyomáskülönbség kezdeti értéke
Δp=2QfV.

A levegő nyomása a tartályban két ok miatt csökken. Egyrészt azért, mert csökken a tartályban levő levegő mennyisége, másrészt azért, mert csökken a levegő hőmérséklete. Ha ez utóbbitól eltekintünk, azaz a folyamatot izotermikusnak tekintjük, akkor a nyomás időegység alatti csökkenése
dpdt=dmdt1VMRT,(2)
ahol dmdt az időegység alatt kiáramló levegő tömege, M a móltömeg A dt idő alatt kiáramló levegő egy F alapterületű, vdt hosszúságú hasábban helyezkedik el (l. ábra), ezért
dm=-ϱFvdt,
azaz
dmdt=-ϱFv,(3)
ahol F a nyílás keresztmetszete ‐ a negatív előjel arra utal, hogy a tartályban a levegő mennyisége csökken.
 
 

A kiömlés kezdetekor
pV=mMRT,(4)
az (1), (2), (3), (4) egyenletekből azt kapjuk, hogy
dpdt=-pFV2Δpϱ.
A Δp nyomáskülönbségre érvényes egyenlet
d(Δp)dt=-p0FV2Δpϱ,
a gyök előtti p szorzótényezőben Δp-t p0 mellett elhanyagoltuk.
Ezt a differenciálegyenletet könnyen megoldhatjuk, ha észrevesszük, hogy ugyanolyan szerkezetű, mint egy nehézségi erőtérben pattogó rugalmas labda mozgását leíró egyenlet (Δp idő szerinti második differenciálhányadosa állandó). A Δp(t) függvény képe parabola. Mivel t=0 esetén
Δp=2QfV,ésd(Δp)dt=-2p0FVQfVϱ,
ezért
Δp(t)=2QfV-2p0FVQfVϱt+p02F2V2ϱt22=(2QfV-p0FV2ϱt)2

A kiáramlás
τ=QVϱf2p0F
ideig tart (l. ábra). A kiáramló levegő dt idő alatt
dP=ΔpFdt
impulzust visz el. Ezért az összes elvitt impulzus
ΔP=0τΔpFdt=F0τΔpdt.
Az integrál éppen a parabola alatti területtel egyenlő, ami
13τΔp(t=0).
Így
ΔP=43p0ϱV(Qf)3/2.
Az I. megoldásban elmondottakhoz hasonlóan belátható, hogy adiabatikus tágulás esetén
ΔP=43p0κϱV(Qf)3/2.