Feladat: 2432. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Daruka István ,  Miklós György 
Füzet: 1990/március, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kepler I. törvénye, Energiamegmaradás, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/november: 2432. fizika feladat

Mekkora sebességgel kell elindítani a Föld felszínén vízszintes irányban egy űrhajót, hogy pályája egyenlőoldalű hiperbola legyen? Az egyenlőoldalú hiperbola középponti egyenlete: x2-y2=a2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az űrhajó sebessége kilövéskor v0, a végtelenben v, a Föld tömege M, sugara R.
Amikor az űrhajó már nagyon messze van a Földtől ("végtelen távol''), akkor a pályája a hiperbola aszimptotája. Ha az aszimptota α szöget zár be a hiperbola valós tengelyével, és a a hiperbola fél valós, b pedig a fél képzetes tengelye, akkor:

tgα=ba.(1)

 
 

Az egyenlőszárú hiperbolánál b=a, ezért α=45. Ha c a fókuszpont távolsága a tengelyek metszéspontjától, akkor
c=b2+a2=2a=a+R.(2)
Ebből:
c=R(2+2).(3)
Az energiamegmaradást kifejező egyenlet:
v022-fMR=v22.(4)

Mivel az űrhajóra centrális erő hat, ezért felhasználhatjuk a perdületmegmaradás tételét is, így
v0R=vcsinα.(5)
Az (1)‐(5) egyenletek alapján
v0=fMR(2-1)12,3 km/s.
Tehát 12,3 km/s-mal kell kilőni az űrhajót a Földről.
 

Daruka István (Karcag, Gábor Á. Gimn., III. o. t.)