Kezdőlap


Feladat:	2333. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szekeres Tamás
Füzet:	1989/április, 186 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabadesés, Rugalmatlan ütközések, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: 2333. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyó inerciarendszerhez viszonyított $u$ sebességgel érkezik a laphoz. Ugyanekkor a lap inerciarendszerbeli sebessége $v$ , amely az $u$ irányával ellentétes irányú (máskülönben a sebességveszteség nem pótlódhatna). A golyó ütközés utáni sebességének nagysága $u$ (mivel mindig ugyanolyan magasra kell, hogy pattanjon), iránya $v$ -vel megegyező. Így az ütközés előtti és utáni relatív sebességekre fennáll:

\begin{matrix} k (u + v) = u - v . \end{matrix}

(1)

A golyó egymást követő ütközései között eltelt

t

idő:

\begin{matrix} t = \frac{2 u}{g}, \end{matrix}

(2)

másrészt ezen

t

idő a lap periódusidejének egész számú többszöröse kell, hogy legyen:

\begin{matrix} t = n T = n \frac{2 π}{ω}, \end{matrix}

(3)

ahol

T

a lap periódusideje,

ω

a lap körfrekvenciája,

n

pozitív egész szám.
Ha az ütközés a lap

φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

fázisú pillanatában történik, akkor a lap sebessége

\begin{matrix} v = A ω cos φ, \end{matrix}

(4)

ahol

A

a rezgés amplitúdója.
A (2) és (3) egyenletből

u

-t kifejezhetjük

ω

és

n

függvényeként, az (1) és (4) egyenletből is kifejezhetjük

u

-t

ω

és

cos φ

függvényeként. Így kapjuk, hogy egy adott

φ

-hez, azaz a lap egy adott kitéréséhez tartozó ütközések esetében a következő

ω

, illetve frekvencia értékek lehetségesek:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{n}{cos φ} \cdot \frac{π g (1 - k)}{A (1 + k)}}, f = \sqrt[]{\frac{g (1 - k)}{4 π A (1 + k)} \cdot \frac{n}{cos φ}}, (n = 1, 2, ...) . \end{matrix}

A fentiek alapján nem nehéz megvizsgálni, hogy milyen

φ

és az előbbiek közül milyen frekvenciák esetében valósítható is meg a golyó állandó pattogtatása. (L. az alábbi megjegyzést!)

f

minimális értékét a

φ = 0, n = 1

esetben veszi fel:

\begin{matrix} f_{min} = 0, 91 \frac{1}{s} . \end{matrix}

Lényegében ez az eset valósul meg, amikor a pingpongütővel a labdát pattogtatjuk.

Szekeres Tamás (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Több megoldó is felhívta a figyelmet arra, hogy ütközés után a lap utólérheti a golyót, azaz egy perióduson belül kétszer is ütköznek. Ezen eset tanulmányozása adott

φ

értéknél lehetséges. Másrészt a golyónak

A

-nál magasabbra kell pattannia. Mivel

\begin{matrix} h = \frac{u^{2}}{2 g}, \end{matrix}

ahol

h

az emelkedési magasság, így a fentiek alapján

u

-t kifejezve nyerjük

h

értékét:

\begin{matrix} h = \frac{π}{2} A \frac{1 + k}{1 - k} n cos φ . \end{matrix}

Így kapjuk az alábbi feltételt:

\begin{matrix} n cos φ > \frac{1 - k}{1 + k} \cdot \frac{2}{π} . \end{matrix}

A feladatbeli esetre

n = 1

esetén

φ < 88^{\circ}

adódik.