Feladat: 2333. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szekeres Tamás 
Füzet: 1989/április, 186 - 187. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabadesés, Rugalmatlan ütközések, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/október: 2333. fizika feladat

Mekkora frekvenciájú, A=5 cm amplitúdójú függőleges harmonikus rezgőmozgást végezzen a vízszintes lap, hogy a rajta pattogó golyó mindig ugyanolyan magasra pattanjon? A lap és a golyó közötti ütközési együttható k=0,9. (v2=kv1, ahol v2 az ütközés utáni, v1 az ütközés előtti relatív sebesség nagysága.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyó inerciarendszerhez viszonyított u sebességgel érkezik a laphoz. Ugyanekkor a lap inerciarendszerbeli sebessége v, amely az u irányával ellentétes irányú (máskülönben a sebességveszteség nem pótlódhatna). A golyó ütközés utáni sebességének nagysága u (mivel mindig ugyanolyan magasra kell, hogy pattanjon), iránya v-vel megegyező. Így az ütközés előtti és utáni relatív sebességekre fennáll:

k(u+v)=u-v.(1)
A golyó egymást követő ütközései között eltelt t idő:
t=2ug,(2)
másrészt ezen t idő a lap periódusidejének egész számú többszöröse kell, hogy legyen:
t=nT=n2πω,(3)
ahol T a lap periódusideje, ω a lap körfrekvenciája, n pozitív egész szám.
Ha az ütközés a lap φ(-π2,π2) fázisú pillanatában történik, akkor a lap sebessége
v=Aωcosφ,(4)
ahol A a rezgés amplitúdója.
A (2) és (3) egyenletből u-t kifejezhetjük ω és n függvényeként, az (1) és (4) egyenletből is kifejezhetjük u-t ω és cosφ függvényeként. Így kapjuk, hogy egy adott φ-hez, azaz a lap egy adott kitéréséhez tartozó ütközések esetében a következő ω, illetve frekvencia értékek lehetségesek:
ω=ncosφπg(1-k)A(1+k),f=g(1-k)4πA(1+k)ncosφ,(n=1,2,...).
A fentiek alapján nem nehéz megvizsgálni, hogy milyen φ és az előbbiek közül milyen frekvenciák esetében valósítható is meg a golyó állandó pattogtatása. (L. az alábbi megjegyzést!)
f minimális értékét a φ=0,n=1 esetben veszi fel:
fmin=0,911s.
Lényegében ez az eset valósul meg, amikor a pingpongütővel a labdát pattogtatjuk.
 

 Szekeres Tamás (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)
 
Megjegyzés. Több megoldó is felhívta a figyelmet arra, hogy ütközés után a lap utólérheti a golyót, azaz egy perióduson belül kétszer is ütköznek. Ezen eset tanulmányozása adott φ értéknél lehetséges. Másrészt a golyónak A-nál magasabbra kell pattannia. Mivel
h=u22g,
ahol h az emelkedési magasság, így a fentiek alapján u-t kifejezve nyerjük h értékét:
h=π2A1+k1-kncosφ.
Így kapjuk az alábbi feltételt:
ncosφ>1-k1+k2π.
A feladatbeli esetre n=1 esetén φ<88 adódik.