Kezdőlap


Feladat:	2319. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh László
Füzet:	1988/december, 477 - 478. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, A perdületmegmaradás törvénye, Üstökösök, Fizikatörténettel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/május: 2319. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $M = 1,990 \cdot 10^{30} kg$ ^{$^{*}$} tömegű Nap gravitációs terében mozgó $m$ tömegű üstökös tömegközéppontjának a Naptól mért távolsága perihéliumban $r_{p}$ , aphéliumban $r_{a}$ . Mivel a gravitációs erő konzervatív és centrális, a mechanikai energia és impulzusmomentum megmaradása szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{p}^{2} - γ \frac{M m}{r_{p}} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} - γ \frac{M m}{r_{a}}, & (1) \\ m v_{p} r_{p} = m v_{a} r_{a} . & (2) \end{matrix}

Itt

v_{p}

és

v_{a}

az üstökös sebessége napközelben, illetve naptávolban,

γ = 6,670 \cdot 10^{- 11} {Nm}^{2} / {kg}^{2}

a gravitációs állandó. Mivel feladatunk szerint

r_{p} = 8,782 \cdot 10^{10} m

(1986-ban volt az üstökös perihéliumban) és

v_{p} = 5,452 \cdot 10^{4} m/s

ismert, a fenti két egyenletből

r_{a}

és

v_{a}

meghatározható. E célból fejezzük ki a (2) összefüggésből

v_{a}

-t és helyettesítsük (1)-be. Ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{2} v_{p}^{2} - γ \frac{M}{r_{p}} = \frac{1}{2} v_{p}^{2} r_{p}^{2} \cdot \frac{1}{r_{a}^{2}} - γ M \cdot \frac{1}{r_{a}}, \end{matrix}

amely

\frac{1}{r_{a}}

-ra nézve másodfokú egyenlet. Vegyük észre, hogy

r_{a} = r_{p}

ennek triviális megoldása, így a gyökök és együtthatók közötti ismert összefüggés alapján

\begin{matrix} \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{p}} = \frac{2 γ M}{v_{p}^{2} r_{p}^{2}}, \end{matrix}

ahonnan adataink felhasználásával

\begin{matrix} r_{a} = {[\frac{2 γ M}{v_{p}^{2} \cdot r_{p}^{2}} - \frac{1}{r_{p}}]}^{- 1} = 5,2 \cdot 10^{12} m. \end{matrix}

(3)

A (2) impulzusmomentum megmaradásból

\begin{matrix} v_{a} = v_{p} \cdot \frac{r_{p}}{r_{a}} = 9,2 \cdot 10^{2} m/s. \end{matrix}

Kepler III. törvénye szerint bármely, a Nap körül keringő objektumra nézve

\begin{matrix} T^{3} / a^{3} = állandó, \end{matrix}

(4)

ahol

T

az égitest keringési ideje,

a

a Naptól mért középtávolsága. A Halley-üstökös középtávolsága

\begin{matrix} a_{H} = \frac{1}{2} (r_{p} + r_{a}) = 2,6 \cdot 10^{12} m. \end{matrix}

Felhasználva a Föld

T_{F} = 1 év, a_{F} = 1,496 \cdot 10^{11} m

megfelelő adatait, az üstökös keringési ideje

\begin{matrix} T_{H} = T_{F} \cdot {(\frac{a_{H}}{a_{F}})}^{3 / 2} \approx 74 év, \end{matrix}

ami jól megközelíti a megfigyelt kb. 76 éves periódusidőt.
Mivel Newton (1642 ‐ 1727) 85 évet élt, láthatta az üstököst. Feljegyzések szerint 1682-ben a Halley-üstökös feltűnését valóban megfigyelték.

Németh László (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Számolásunk során, mint az a (3) egyenletből látható,

r_{a}

két, közel egyenlő szám kis különbségeként adódott. Ennélfogva a keringési idő is igen érzékenyen függ a felhasznált adatok pontosságától. Így pl. aki a függvénytáblából vett

M = 1,983 \cdot 10^{30} kg

naptömeggel számolt, az

r_{a} \approx 6,6 \cdot 10^{12} m,v_{a}\approx720 m/s

és

T_{H} \approx 106 év

eredményeket kapta. A felhasznált adatok pontatlanságából származó numerikus hibákat a feladatok értékelésénél nem vettük figyelembe.

^{$^{*}$}A Nap tömegének ez az értéke G. W. C. Kaye, T. H. Laby: Tables of Physical and Chemical Constants (1973) c. könyvében található meg.