Feladat: 2319. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Németh László 
Füzet: 1988/december, 477 - 478. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bolygómozgás, Kepler törvények, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, A perdületmegmaradás törvénye, Üstökösök, Fizikatörténettel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/május: 2319. fizika feladat

A Halley-üstökös 1986-ban 8,7821010 m távolságra közelítette meg a Napot és 5,452104 m/s sebességgel haladt el ,,mellette''.
a) Legfeljebb milyen messzire távolodhat el az üstökös a Naptól, s mennyi lesz ott a sebessége?
b) Láthatta-e Newton a Halley-üstököst? (Számítsuk ki az üstökös keringési idejét!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az M=1,9901030kg* tömegű Nap gravitációs terében mozgó m tömegű üstökös tömegközéppontjának a Naptól mért távolsága perihéliumban rp, aphéliumban ra. Mivel a gravitációs erő konzervatív és centrális, a mechanikai energia és impulzusmomentum megmaradása szerint

12mvp2-γMmrp=12mva2-γMmra,(1)mvprp=mvara.(2)



Itt vp és va az üstökös sebessége napközelben, illetve naptávolban, γ=6,67010-11Nm2/kg2 a gravitációs állandó. Mivel feladatunk szerint rp=8,7821010  m (1986-ban volt az üstökös perihéliumban) és vp=5,452104m/s ismert, a fenti két egyenletből ra és va meghatározható. E célból fejezzük ki a (2) összefüggésből va-t és helyettesítsük (1)-be. Ekkor
12vp2-γMrp=12vp2rp21ra2-γM1ra,
amely 1ra-ra nézve másodfokú egyenlet. Vegyük észre, hogy ra=rp ennek triviális megoldása, így a gyökök és együtthatók közötti ismert összefüggés alapján
1ra+1rp=2γMvp2rp2,
ahonnan adataink felhasználásával
ra=[2γMvp2rp2-1rp]-1=5,21012m.  (3)
A (2) impulzusmomentum megmaradásból
va=vprpra=9,2102m/s.  

Kepler III. törvénye szerint bármely, a Nap körül keringő objektumra nézve
T3/a3=állandó,(4)
ahol T az égitest keringési ideje, a a Naptól mért középtávolsága. A Halley-üstökös középtávolsága
aH=12(rp+ra)=2,61012m.  
Felhasználva a Föld TF=1év,aF=1,4961011m megfelelő adatait, az üstökös keringési ideje
TH=TF(aHaF)3/274év,
ami jól megközelíti a megfigyelt kb. 76 éves periódusidőt.
Mivel Newton (1642 ‐ 1727) 85 évet élt, láthatta az üstököst. Feljegyzések szerint 1682-ben a Halley-üstökös feltűnését valóban megfigyelték.
 

 Németh László (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Számolásunk során, mint az a (3) egyenletből látható, ra két, közel egyenlő szám kis különbségeként adódott. Ennélfogva a keringési idő is igen érzékenyen függ a felhasznált adatok pontosságától. Így pl. aki a függvénytáblából vett M=1,9831030kg naptömeggel számolt, az ra6,61012m, va   720 m/s és TH106év eredményeket kapta. A felhasznált adatok pontatlanságából származó numerikus hibákat a feladatok értékelésénél nem vettük figyelembe.

*A Nap tömegének ez az értéke G. W. C. Kaye, T. H. Laby: Tables of Physical and Chemical Constants (1973) c. könyvében található meg.