Kezdőlap


Feladat:	2213. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr András , Csordás Zoltán Mihály , Cynolter Gábor , Hauer Tamás , Kulacsy Katalin , Szabó A. , Szalma Csaba , Tavaszi Gábor
Füzet:	1988/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: 2213. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A henger a papír kihúzásakor valamilyen sebességgel és szögsebességgel rendelkezik. Az asztalra érve ez a sebesség a kihúzott papír irányába mutat, a szögsebességből adódó forgás viszont éppen ellenkező irányban mozgatná a hengert. Így a henger az asztalon ,, köszörülni'' kezd, azaz csúszva és forogva mozog.
A haladó és a forgó mozgás alapegyenletei:

\begin{matrix} m a = S, \end{matrix}

\begin{matrix} Θ β = S R, \end{matrix}

ahol

S

a mindenkori pillanatnyi súrlódási erő. Ebből

\begin{matrix} a = \frac{Θ}{m r} β, \end{matrix}

vagyis a gyorsulás a szöggyorsulással arányos. Figyelembe véve, hogy kezdetben a henger állt,

\begin{matrix} v \sim ω, \end{matrix}

vagyis a henger sebessége minden pillanatban arányos a szögsebességével. A végállapot, vagyis csúszásmentes gördülés csak úgy jöhet létre, ha vagy

ω

, vagy

v

előjelet vált. Ekkor azonban a fentiek szerint a másik mennyiség is nulla, azaz a henger megáll.

Benczúr András (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Tekintsük az asztal síkjában levő, a henger tengelyével párhuzamos

e

egyenest (1. ábra) és a henger

e

-re vonatkozó perdületét (impulzusmomentumát).

1. ábra

Kezdetben a henger áll,

N_{0}

perdülete nulla. A mozgás során három erő hat a hengerre: az

m g

nehézségi erő, a

K

kényszererő és az

S

súrlódási erő. Mivel

K = m g

és hatásvonaluk is egybeesik,

e

-re vonatkozó forgatónyomatékuk összege nulla, így a henger perdülete mindvégig

N = N_{0} = 0

2. ábra

Az egyenesre vonatkozó perdület általában így írható fel (2. ábra):

\begin{matrix} N = r \times I + Θ ω, \end{matrix}

ahol

I

a henger lendülete,

ω

és

Θ

rendre a tömegközépponton átmenő tengely körüli szögsebesség illetve tehetetlenségi nyomaték . A teljes perdületben az első tagot pályamenti perdületnek, a másodikat saját perdületnek (vagy spinnek) hívjuk. A teljes perdület csak úgy lehet mindig nulla, ha a két összetevője mindig egyenlő nagyságú és ellentétes irányú. Tiszta gördülés esetén azonban a két összetevő mindig egyirányú. Végállapotban, amikor a tiszta gördülés létrejön, a fenti két feltétel csak úgy teljesülhet, ha a henger lendülete (sebessége) és szögsebessége is nulla, vagyis a henger az asztalon megáll.

Cynolter Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések: 1. A fenti két megoldás alapján nyilvánvaló, hogy bármekkora papírszalag-gyorsulás, bármilyen hengeres test, bármilyen tehetetlenségi nyomaték, illetve tetszőleges súrlódási viszonyok esetén is ugyanaz a végállapot, vagyis a nyugalom jön létre.
2. A henger mozoghat csúszásmentesen, vagy kellően nagy gyorsulás esetén megcsúszhat. A tiszta gördülés feltétele a gyorsuló papírszalagon:

\begin{matrix} a_{0} = a + r β, \end{matrix}

ahol

a_{0}

a papírszalag gyorsulása,

a

pedig a henger tömegközéppontjának gyorsulása,

β

a henger szöggyorsulása. Felhasználva a mozgásegyenleteket, tömör henger esetén:

\begin{matrix} S = m a \end{matrix}

\begin{matrix} S_{r} = Θ \cdot β = \frac{1}{2} m r^{2} \cdot β, \end{matrix}

amiből

r β = 2 a

adódik. Behelyettesítve ezt a tiszta gördülés feltételébe:

\begin{matrix} a_{0} = 3 a, \end{matrix}

vagyis tiszta gördülés esetén a test gyorsulása a papírszalag gyorsulásának harmada. Mivel a test gyorsulásának maximuma

μ g

, így tiszta gördülés akkor következik be, ha a papírszalag gyorsulása

a_{0} < 3 μ g

. (Ebben a feltételben felhasználtuk, hogy tömör hengert mozgatunk, más tehetetlenségi nyomatékú hengeres testek esetén a tiszta gördülés határa is más.).