Feladat: 2213. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr András ,  Csordás Zoltán Mihály ,  Cynolter Gábor ,  Hauer Tamás ,  Kulacsy Katalin ,  Szabó A. ,  Szalma Csaba ,  Tavaszi Gábor 
Füzet: 1988/február, 91 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés vízszintes felületen, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/március: 2213. fizika feladat

Vízszintes asztalon fekvő L hosszúságú papírszalagra egy m tömegű, R sugarú hengert helyezünk. Ezután a szalagot a henger tengelyére merőleges irányban állandó gyorsulással kirántjuk a henger alól. Mekkora a henger végsebessége? (Vegyük mindkét súrlódási együttható értékét μ-nek!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A henger a papír kihúzásakor valamilyen sebességgel és szögsebességgel rendelkezik. Az asztalra érve ez a sebesség a kihúzott papír irányába mutat, a szögsebességből adódó forgás viszont éppen ellenkező irányban mozgatná a hengert. Így a henger az asztalon ,, köszörülni'' kezd, azaz csúszva és forogva mozog.
A haladó és a forgó mozgás alapegyenletei:

ma=S,
Θβ=SR,
ahol S a mindenkori pillanatnyi súrlódási erő. Ebből
a=Θmrβ,
vagyis a gyorsulás a szöggyorsulással arányos. Figyelembe véve, hogy kezdetben a henger állt,
vω,
vagyis a henger sebessége minden pillanatban arányos a szögsebességével. A végállapot, vagyis csúszásmentes gördülés csak úgy jöhet létre, ha vagy ω, vagy v előjelet vált. Ekkor azonban a fentiek szerint a másik mennyiség is nulla, azaz a henger megáll.
 

 Benczúr András (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 
II. megoldás. Tekintsük az asztal síkjában levő, a henger tengelyével párhuzamos e egyenest (1. ábra) és a henger e-re vonatkozó perdületét (impulzusmomentumát).
 
 
1. ábra
 

Kezdetben a henger áll, N0 perdülete nulla. A mozgás során három erő hat a hengerre: az mg nehézségi erő, a K kényszererő és az S súrlódási erő. Mivel K=mg és hatásvonaluk is egybeesik, e-re vonatkozó forgatónyomatékuk összege nulla, így a henger perdülete mindvégig N=N0=0.
 
 
2. ábra
 

Az egyenesre vonatkozó perdület általában így írható fel (2. ábra):
N=r×I+Θω,
ahol I a henger lendülete, ω és Θ rendre a tömegközépponton átmenő tengely körüli szögsebesség illetve tehetetlenségi nyomaték . A teljes perdületben az első tagot pályamenti perdületnek, a másodikat saját perdületnek (vagy spinnek) hívjuk. A teljes perdület csak úgy lehet mindig nulla, ha a két összetevője mindig egyenlő nagyságú és ellentétes irányú. Tiszta gördülés esetén azonban a két összetevő mindig egyirányú. Végállapotban, amikor a tiszta gördülés létrejön, a fenti két feltétel csak úgy teljesülhet, ha a henger lendülete (sebessége) és szögsebessége is nulla, vagyis a henger az asztalon megáll.
 

 Cynolter Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

 
Megjegyzések: 1. A fenti két megoldás alapján nyilvánvaló, hogy bármekkora papírszalag-gyorsulás, bármilyen hengeres test, bármilyen tehetetlenségi nyomaték, illetve tetszőleges súrlódási viszonyok esetén is ugyanaz a végállapot, vagyis a nyugalom jön létre.
2. A henger mozoghat csúszásmentesen, vagy kellően nagy gyorsulás esetén megcsúszhat. A tiszta gördülés feltétele a gyorsuló papírszalagon:
a0=a+rβ,
ahol a0 a papírszalag gyorsulása, a pedig a henger tömegközéppontjának gyorsulása, β a henger szöggyorsulása. Felhasználva a mozgásegyenleteket, tömör henger esetén:
S=ma
Sr=Θβ=12mr2β,
amiből rβ=2a adódik. Behelyettesítve ezt a tiszta gördülés feltételébe:
a0=3a,
vagyis tiszta gördülés esetén a test gyorsulása a papírszalag gyorsulásának harmada. Mivel a test gyorsulásának maximuma μg, így tiszta gördülés akkor következik be, ha a papírszalag gyorsulása a0<3μg. (Ebben a feltételben felhasználtuk, hogy tömör hengert mozgatunk, más tehetetlenségi nyomatékú hengeres testek esetén a tiszta gördülés határa is más.).