Kezdőlap


Feladat:	2193. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szekeres Béla
Füzet:	1987/november, 428 - 429. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kirchhoff-törvények, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/január: 2193. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a telepek belső ellenállása $r_{b}$ , elektromotoros ereje $U_{0}$ , és legyen a sorosan kapcsolt telepek száma $s$ , a párhuzamos csoportok száma pedig $p$ (ld. ábra).

Kirchhoff törvényeit felhasználva az

R

külső ellenálláson folyó áramerősség:

\begin{matrix} I_{R} = \frac{p s U_{0}}{p R + s r_{b}} . \end{matrix}

(1)

Felhasználva az adatokat (

p s = 72

R = 36 Ω

r_{b} = 2

U_{0} = 4, 5 V

) kapjuk:

\begin{matrix} I_{R} = \frac{4, 5}{\frac{p}{2} + \frac{2}{p}} \end{matrix}

(2)

a) Maximális az áram akkor, ha a nevező a feltételeink mellett minimális. Felhasználva a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (\frac{p}{2} + \frac{2}{p}) ≧ \sqrt[]{1} . \end{matrix}

Az egyenlőség feltétele:

\frac{p}{2} = \frac{p}{2} = 1

, azaz

p = 2

. Ekkor 36 sorosan kapcsolt telepből állítunk össze 2 párhuzamos csoportot. Az áramerősség

I_{R}^{max} = 2, 25 A

b) Minimális az áram akkor, ha a nevező a feltételeink mellett maximális. Az

f (p) = \frac{p}{2} + \frac{2}{p}

függvény az előbb megtalált minimumhelytől mind balra (kisebb

p

értékek), mind jobbra (nagyobb

p

értékek) szigorúan monoton nő. Maximumát így a vizsgált intervallum valamelyik határán érheti el.
Ha

p = 1, I_{R} = 1, 8 A

.
Ha

p = 72, I_{R} = 0, 125 A

.
Vagyis minimális az áram, ha mindegyik elemet párhuzamosan kapcsoljuk (

s = 1

). Az áramerősség

I_{R}^{min} = 0, 125 A

Megjegyzések. 1. Több megoldó a minimális áramot a telepek szembekapcsolásával 0-nak vette. Ezt nem fogadtuk el jó megoldásnak. Ha nem akarnánk áramot létrehozni, azt nyilván sokkal egyszerűbben is megvalósithatnánk.

2. A minimum- és a maximumhelyek különféle módszerekkel való megkeresése (deriválás, számítógép) nem jelent fizikailag különböző megoldásokat.