Feladat: 2193. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szekeres Béla 
Füzet: 1987/november, 428 - 429. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kirchhoff-törvények, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: 2193. fizika feladat

72 db 4,5 V-os, 2Ω belső ellenállású zsebtelepet kapcsolunk össze. Hogyan tegyük ezt, hogy az R=36Ω-os külső ellenálláson folyó áram
a) maximális,
b) minimális legyen?
Mekkorák ezek az áramok? (Csak azokat a kapcsolásokat vegyük figyelembe, amelyek egyenlő számú telepet tartalmazó, sorosan kapcsolt csoportok párhuzamos kapcsolásából állnak.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a telepek belső ellenállása rb, elektromotoros ereje U0, és legyen a sorosan kapcsolt telepek száma s, a párhuzamos csoportok száma pedig p (ld. ábra).

 
 

Kirchhoff törvényeit felhasználva az R külső ellenálláson folyó áramerősség:
IR=psU0pR+srb.(1)
Felhasználva az adatokat (ps=72, R=36Ω, rb=2, U0=4,5 V) kapjuk:
IR=4,5p2+2p(2)

a) Maximális az áram akkor, ha a nevező a feltételeink mellett minimális. Felhasználva a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségeket:
12(p2+2p)1.

Az egyenlőség feltétele: p2=p2=1, azaz p=2. Ekkor 36 sorosan kapcsolt telepből állítunk össze 2 párhuzamos csoportot. Az áramerősség IRmax=2,25 A.
 
b) Minimális az áram akkor, ha a nevező a feltételeink mellett maximális. Az f(p)=p2+2p függvény az előbb megtalált minimumhelytől mind balra (kisebb p értékek), mind jobbra (nagyobb p értékek) szigorúan monoton nő. Maximumát így a vizsgált intervallum valamelyik határán érheti el.
Ha p=1,IR=1,8 A.
Ha p=72,IR=0,125 A.
Vagyis minimális az áram, ha mindegyik elemet párhuzamosan kapcsoljuk (s=1). Az áramerősség IRmin=0,125 A.
 


Megjegyzések. 1. Több megoldó a minimális áramot a telepek szembekapcsolásával 0-nak vette. Ezt nem fogadtuk el jó megoldásnak. Ha nem akarnánk áramot létrehozni, azt nyilván sokkal egyszerűbben is megvalósithatnánk.
 

2. A minimum- és a maximumhelyek különféle módszerekkel való megkeresése (deriválás, számítógép) nem jelent fizikailag különböző megoldásokat.