Feladat: 2149. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Fajszi Bulcsú ,  Miskolczi Norbert ,  Pálfi Csaba ,  Szekeres Mária ,  Szikrai Szabolcs ,  Tavaszi Gábor ,  Vida Attila 
Füzet: 1987/december, 471 - 472. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rugalmatlan ütközések, Tömegközéppont mozgása, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/szeptember: 2149. fizika feladat

Az ábrán látható m2 tömegű testhez ‐ könnyű, kemény ‐ rugó van rögzítve. A v0 sebességgel mozgó m1 tömegű test az ütközés pillanatában a rugóhoz tapad. Az ütközés centrális, a súrlódás elhanyagolható. Vannak-e olyan pillanatok, amikor az m2 tömegű test sebessége v0-lal ellentétes irányú?
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az m1 tömegű test sebességét v1-gyel, az m2 tömegű test sebességét pedig v2-vel. Az eredetileg álló m2-höz rögzített vonatkoztatási rendszerben legyen a sebesség pozitív, ha jobbra mozog a test, a balra mozgóké pedig negatív. A lendületmegmaradás törvénye szerint

m1v1+m2v2=m1v0,
ahonnan az m2 tömegű test pillanatnyi sebessége
v2=m1m2(v0-v1).
Ez a sebesség nem lehet negatív, hiszen v2<0 csak v0<v1 esetben állhatna fenn, ekkor viszont az energiamegmaradással lenne baj (az m1 tömegű test mozgási energiája nagyobb lenne, mint az ütközés előtt rendelkezésre álló összes energia). Tehát az m2 tömegű test sebessége a mozgás során sohasem lehet ellentétes irányú v0-lal.
 

II. megoldás: Vizsgáljuk a két test mozgását a tömegközépponti rendszerükben! A tömegközéppont sebessége a lendületmegmaradás törvényéből határozható meg:
V=m1m1+m2v0.
Ebben a rendszerben az összeütközés előtt a testek sebessége:
v1=v0-V,illetvev2=-V.
Az ütközést követően m1 "ráragad'' a rugóra, s a továbbiakban a két test azonos frekvenciájú, de ellentétes fázisú harmonikus rezgőmozgást végez. A rezgés körfrekvenciája
ω=Dm1+Dm2(Da  rugóállandó).
A testek sebessége akkor a legnagyobb, amikor a rugó nyújtatlan állapotban van:
 
v1max=v0-V,illetvev2max=-Vközeledéskor,
 
v1max=-v0+Vésv2max=Vtávolodáskor.
 

Ugyanezen sebességek az asztalhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben:
 
v1max=v0ésv2max=0közeledéskor,
 
v1max=-v0+2Vésv2max=2Vtávolodáskor.
 
A lendületmegmaradás tétele alapján a két sebesség között mindenkor lineáris összefüggés áll fenn:
v2=m1m2(v0-v1).


Az I. megoldásban láttuk, hogy v2 sohasem negatív. Az m1 tömegű test azonban mozoghat v0-lal ellentétes irányban: v0<0 fennállhat, ha -v0+2V<0 . Ez utóbbinak viszont az a feltétele, hogy m1<m2 teljesüljön.
 

Megjegyzés: A feladat nem pontosan a kitűző eredeti megfogalmazásában került közlésre. Ő arra lett volna kíváncsi, vannak-e olyan pillanatok, amikor a két test ellentétes irányba mozog (az asztal vonatkoztatási rendszerében). A feladatot ilyen értelemben senki nem "értette félre'', a megoldók a kitűzésben szereplő egyszerűbb kérdésre adtak választ. Az elérhető pontszámot emiatt 3 pontra csökkentettük.