Kezdőlap


Feladat:	2141. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cynolter Gábor , Deák Csaba , Ligeti Zoltán , Marczin Attila , Tasnádi Tamás
Füzet:	1987/április, 186 - 188. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Anharmonikus rezgések, Függvények grafikus elemzése, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: 2141. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $t = 0$ pillanatban a függőlegeshez képest $α$ szögben, $v_{0}$ kezdősebességgel elinduló vízcseppek mozgását az

\begin{matrix} y (t) = v_{0} \cdot t \cdot cos α - g \cdot t^{2} / 2 \end{matrix}

és az

\begin{matrix} x (t) = v_{0} \cdot t \cdot sin α \end{matrix}

egyenletek írják le. (Ezek az egyenletek tulajdonképpen csak a szabadon mozgó, már cseppekre szakadt vízsugárra érvényesek, a kifolyócső közelében még nem; ‐ ott az egyes folyadékdarabkák a környező folyadék hatását is érzik, ezt azonban a továbbiakban elhanyagoljuk.)
A földetéréskor

y = 0

, ahonnan a repülés idejére

\begin{matrix} t^{*} = \frac{2 v_{0}}{g} cos α, \end{matrix}

a repülés távolságára pedig

\begin{matrix} X = x (t^{*}) = \frac{v_{0}^{2}}{g} sin 2 α \end{matrix}

adódik. Egy tetszőleges

t

időpillanatban elinduló vízcsepp

T = t + t^{*}

időpillanatban ér földet, azaz

\begin{matrix} T (t) = t + \frac{2 v_{0}}{g} \cdot cos α (t), \end{matrix}

(1)

repülés távolsága pedig

\begin{matrix} X (t) = \frac{v_{0}^{2}}{g} \cdot sin 2 α (t) . \end{matrix}

(2)

A fenti két egyenlet az

\begin{matrix} α (t) = A sin (2 π t / t_{0}) \end{matrix}

(3)

függvényalakkal együtt egyértelműen meghatározza a keresett

X (T)

függvényt. A grafikus ábrázolás ténylegesen úgy történik, hogy kiszámítjuk különböző

t

értékekhez tartozó

X

és

T

mennyiségeket, és ezeket egy derékszögű koordináta-rendszer tengelyeire felmérve az így kapott pontokat összekötjük. (Az ilyenfajta függvénymegadást, vagyis amikor

X

-et nem közvetlenül a független változó

T

-ből számítjuk ki, hanem mindkettőjüket egy harmadik mennyiségből,

t

-ből származtatjuk, paraméteres alaknak nevezik. A paraméteres függvényalaknak az az előnye, hogy vele "többértékű'' függvények is megadhatók.)
Gyorsítja a függvényábrázolást az, ha észrevesszük, hogy az

X (T)

függvény periodikus

t_{0}

periódusidővel, tehát

X (T + t_{0}) = X (T)

, továbbá fennáll az

X (T + t_{0} / 2) = - X (T)

összefüggés is. Ez utóbbi miatt elegendő egy félperiódusra, tehát 1,5 s-nyi időtartamra szorítkoznunk, ezt pedig mondjuk 15 pontban, vagyis 0,1 s-onként számolva kielégítő pontossággal megkapjuk az X(T) függvény (1. ábra).

1. ábra

Látható, hogy

X (T)

bizonyos időintervallumokban nem egyértékű, hanem három különböző értéket felvevő függvény. Ez azzal függ össze, hogy a különböző időpontokban ‐ különböző irányokban ‐ elindított vízcseppek egyszerre érhetik el a földet. Amennyiben a földetérés helyén szétfröccsenő vízfoltot egy "részecskének'' tekintjük, amely vízszintesen mozog, úgy az 1. ábrát tanulmányozva azt a meglepő kijelentést tehetjük, hogy ezen részecskék száma nem állandó, hanem néha megváltozik. Az

A, A^{'}, A^{''}, ...

pontoknak megfelelő pillanatokban hirtelen két új ‐ eddig nem létező ‐ részecske "keletkezik'', majd nagy sebességgel eltávolodik egymástól. A

B, B^{'}, B^{''}, ...

pontoknál viszont egy-egy részecske egymásnak ütközik, s mindkettő "eltűnik'', annihilálódik. Ez a jelenség bizonyos értelemben jól modellezi az elemi részecskék és antirészecskéik (például elektronok és pozitronok) párosával történő keletkezését és annihilálódását.
Az

X (T)

út‐idő függvényből a sebességet a függvény meredekségének vizsgálatából kaphatjuk meg. Ez történhet az 1. ábrán látható görbe "grafikus deriválásával'' (vagyis a meredekség pontonkénti lemérésével és ábrázolásával), vagy a (2), (3) és (4) egyenletekből a

\begin{matrix} \frac{Δ X}{Δ T} = \frac{Δ X (t)}{Δ T} / \frac{Δ T (t)}{Δ t} = \\ = \frac{\frac{v_{0}^{2}}{g} [cos 2 α (t)] \cdot 2 A [cos (2 π t / t_{0})] \cdot 2 π / t_{0}}{1 - \frac{2 v_{0}}{g} [sin α (t)] \cdot A [cos (2 π \cdot t / t_{0})] \cdot 2 π / t_{0}} \end{matrix}

összefüggés segítségével. A sebességfüggvény ugyancsak többértékű függvénye

T

-nek (2. ábra).

2. ábra

A, A^{'}, A^{''}, ...

keletkezési ‐ és a

B, B^{'}, B^{''}, ...

megsemmisülési pontokban a sebesség határértéke végtelen nagy. Ez azonban nincs ellentmondásban a relativitáselmélet azon állításával, miszerint a fénynél gyorsabban egyetlen test sem mozoghat, hiszen az

X (T)

függvény nem egyazon anyagi pont helyzetét, hanem különböző vízcseppek földetérési koordinátáit adja meg.