Kezdőlap


Feladat:	2137. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Araczki Ágnes , Kégl Balázs , Pogány András , Raisz Ildikó , Szűcs Gábor , Wiandt Tamás
Füzet:	1987/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Impulzusmegmaradás törvénye, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: 2137. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az alsó test tömegét $M$ , sebességét $V$ , a felső tömegét $m,$ sebességét $w$ . Legyen a kialakuló közös sebesség $u$ . A nyugvó rendszerben megtett utakat jelölje rendre $s_{1}$ és $s_{2}$ , hasonlóképp az $u$ sebességű rendszerben $s_{1}'$ és $s_{2}'$ .

I. Írjuk fel a munkatételt mindkét testre külön-külön, először a nyugvó, majd a

v

sebességgel mozgó koordináta-rendszerben! (Az

F

súrlódási erő mindkét rendszerben ugyanakkora, mivel inerciarendszerek.)

\begin{matrix} F \cdot s_{1} = \frac{M u^{2}}{2} - \frac{M V^{2}}{2}, & (1) \\ - F \cdot s_{2} = \frac{m u^{2}}{2} - \frac{m w^{2}}{2}, & (2) \\ - F \cdot s_{1}^{'} - \frac{M {(u - V)}^{2}}{2}, & (3) \\ - F \cdot s_{2}^{'} = - \frac{m {(u - w)}^{2}}{2}, & (4) \end{matrix}

Az ábra alapján a következő összefüggést írhatjuk fel az utak között:

\begin{matrix} s_{1} + s_{1}^{'} + s_{2}^{'} = s_{2}, \end{matrix}

(5)

ugyanis a megtett út a görbe alatti terület mérőszámával egyezik meg, és az

u

sebességű koordináta-rendszer esetén a nullaszint a

v = u

egyenes.
Az egyenletrendszert megoldva két értéket kapunk, az

u = 0

-t, illetve az

\begin{matrix} u = \frac{M V + m w}{m + M} \end{matrix}

értéket. Ez utóbbi a helyes megoldás, ez áll összhangban az impulzusmegmaradás törvényével.

II. Az előző jelöléseket és az (1), (2) egyenleteket megtartva, határozzuk meg a nyugvó rendszerben megtett utakat:

\begin{matrix} s_{1} = V_{átlag} \cdot t = \frac{V + u}{2} \cdot t, & (6) \\ s_{2} = w_{átlag} \cdot t = \frac{w + u}{2} \cdot t . & (7) \end{matrix}

Kaptunk négy egyenletet négy ismeretlennel (

s_{1}, s_{2}, u, t

), a megoldás a közös sebességre:

\begin{matrix} u = \frac{M V + m w}{M + m} . \end{matrix}

III. Írjuk fel a munkatételt a két testből álló rendszerre a nyugvó koordináta-rendszerben :

\begin{matrix} - F_{s} \cdot Δ s = \frac{1}{2} (m + M) u^{2} - \frac{1}{2} M V^{2} - \frac{1}{2} m w^{2}, \end{matrix}

(8)

ahol

\begin{matrix} Δ s = s_{2} - s_{1} \end{matrix}

(9)

a felső testnek az alsón megtett útja.
Mivel a felső testet az

F = μ m g

erő lassítja, a gyorsulása

\begin{matrix} a = - μ \cdot g, \end{matrix}

a sebességváltozás ideje pedig

\begin{matrix} t = \frac{u - w}{- μ g} . \end{matrix}

Nyilvánvalóan ugyanennyi idő alatt gyorsul fel a másik test is, így a fenti értéket (6)-ba és (7)-be helyettesítve, azokból (9) alapján

Δ s

kifejezhető. Így (8)-ban már csak egyetlen ismeretlenünk van, az

u

sebesség, amelyre

\begin{matrix} u = \frac{M V + m w}{M + m} \end{matrix}

adódik.

Megjegyzések. 1. Amennyiben a két sebesség nem egyirányú, a két sebességet előjeles mennyiségként kezelve, a fenti gondolatmenetekkel helyes eredményre jutunk.
2. Sok megoldónk feltételezte, tévesen, hogy a két test egyenlő utat tesz meg, s így a helytelen

\begin{matrix} u = \frac{M V^{2} + m w^{2}}{M + m} \end{matrix}

eredményre jutott.