Feladat: 2137. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Araczki Ágnes ,  Kégl Balázs ,  Pogány András ,  Raisz Ildikó ,  Szűcs Gábor ,  Wiandt Tamás 
Füzet: 1987/április, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Impulzusmegmaradás törvénye, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/május: 2137. fizika feladat

Vízszintes pályán súrlódásmentesen csúszó test sík lapjára rácsúszik egy másik test, amely azon súrlódással fékeződve megáll. A mozgások ugyanazon egyenes mentén zajlanak. Határozzuk meg a közös sebességet a munkatétel segítségével!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az alsó test tömegét M, sebességét V, a felső tömegét m, sebességét w. Legyen a kialakuló közös sebesség u. A nyugvó rendszerben megtett utakat jelölje rendre s1 és s2, hasonlóképp az u sebességű rendszerben s1' és s2'.

 

I. Írjuk fel a munkatételt mindkét testre külön-külön, először a nyugvó, majd a v sebességgel mozgó koordináta-rendszerben! (Az F súrlódási erő mindkét rendszerben ugyanakkora, mivel inerciarendszerek.)
Fs1=Mu22-MV22,(1)-Fs2=mu22-mw22,(2)-Fs1'-M(u-V)22,(3)-Fs2'=-m(u-w)22,(4)



 
 

Az ábra alapján a következő összefüggést írhatjuk fel az utak között:
s1+s1'+s2'=s2,(5)
ugyanis a megtett út a görbe alatti terület mérőszámával egyezik meg, és az u sebességű koordináta-rendszer esetén a nullaszint a v=u egyenes.
Az egyenletrendszert megoldva két értéket kapunk, az u=0 -t, illetve az
u=MV+mwm+M
értéket. Ez utóbbi a helyes megoldás, ez áll összhangban az impulzusmegmaradás törvényével.

 

II. Az előző jelöléseket és az (1), (2) egyenleteket megtartva, határozzuk meg a nyugvó rendszerben megtett utakat:
s1=Vátlagt=V+u2t,(6)s2=wátlagt=w+u2t.(7)


Kaptunk négy egyenletet négy ismeretlennel (s1,s2,u,t ), a megoldás a közös sebességre:
u=MV+mwM+m.
 

III. Írjuk fel a munkatételt a két testből álló rendszerre a nyugvó koordináta-rendszerben :
-FsΔs=12(m+M)u2-12MV2-12mw2,(8)
ahol
Δs=s2-s1(9)

a felső testnek az alsón megtett útja.
Mivel a felső testet az F=μmg erő lassítja, a gyorsulása
a=-μg,
a sebességváltozás ideje pedig
t=u-w-μg.

Nyilvánvalóan ugyanennyi idő alatt gyorsul fel a másik test is, így a fenti értéket (6)-ba és (7)-be helyettesítve, azokból (9) alapján Δs kifejezhető. Így (8)-ban már csak egyetlen ismeretlenünk van, az u sebesség, amelyre
u=MV+mwM+m
adódik.

 

Megjegyzések. 1. Amennyiben a két sebesség nem egyirányú, a két sebességet előjeles mennyiségként kezelve, a fenti gondolatmenetekkel helyes eredményre jutunk.
2. Sok megoldónk feltételezte, tévesen, hogy a két test egyenlő utat tesz meg, s így a helytelen
u=MV2+mw2M+m
eredményre jutott.