Kezdőlap


Feladat:	2125. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kégl Balázs , Magyari Orsolya , Szikrai Szabolcs
Füzet:	1987/március, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev testek ütközése, Tökéletesen rugalmas ütközések, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/április: 2125. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számoljuk ki a pálca szögsebességét az ütközés előtti pillanatban. Nullszintnek a pálca nyugalmi helyzetbeli súlypontjának magasságát választva, az energiatétel alapján:

\begin{matrix} m g \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \cdot θ ω_{0}^{2} . \end{matrix}

(1)

Az adott forgásra nézve a pálca tehetetlenségi nyomatéka

\frac{1}{3} m l^{2}

, így

ω_{0} = \sqrt[]{\frac{3 g}{l}} .

A továbbiakban a feladat megfogalmazása ellentmondásos. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén a pálca és az inga a mozgás későbbi részében nem marad együtt. Ha viszont azt fogadjuk el, hogy nem válnak szét, akkor az ütközés rugalmatlan kell legyen. Az nem fordulhat elő, hogy az ütközés tökéletesen rugalmas és mégis együtt marad a két test.
Vizsgáljuk meg mindkét esetet!

1. Rugalmatlan ütközés esetén a pálca és a fonálinga az ütközés után is együtt mozog, mert a pálca rezgésszáma lenne a nagyobb, de nem előzheti meg a fonálingát.
A perdület az ütközés során nem változik:

\begin{matrix} θ ω_{0} = (θ + m l^{2}) ω_{1} . \end{matrix}

(2)

Ebből

ω_{1} = \frac{θ ω_{0}}{θ + m l^{2}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt[]{\frac{3 g}{l}}

az ütközés utáni közös szögsebesség. Az emelkedés során a forgási energia átalakul helyzeti energiává.
A megállás pillanatában (a pálca súlypontja

\frac{h}{2}

-t emelkedik, ha a végpontja

h

-t):

\begin{matrix} \frac{1}{2} (θ + m l^{2}) \cdot ω_{1}^{2} = m g (h + \frac{h}{2}) . \end{matrix}

(3)

Ebből

θ

és

C_{1}

behelyettesítésével

h = \frac{l}{12}

. A pálca végpontja és az inga együttesen tehát

\frac{l}{12}

magasra lendül a nyugalmi helyzethez viszonyítva.

2. Rugalmas ütközés esetén:
Az ütközésre most a perdület megmaradásán kívül az energiamegmaradás is érvényes. Jelölje

ω_{2}

az inga,

ω_{3}

a rúd szögsebességét az ütközés után.

\begin{matrix} θ \cdot ω_{0} = m l_{2} \cdot ω_{2} + θ ω_{3} . \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} \frac{1}{2} θ \cdot ω_{0}^{2} = \frac{1}{2} m l^{2} ω_{2}^{2} + \frac{1}{2} θ ω_{3}^{2} . \end{matrix}

(6)

A két egyenletből

ω_{2} = \frac{1}{2} ω_{0}

és

ω_{3} = - \frac{1}{2} ω_{0}

, tehát az inga feleakkora szögsebességgel továbblendül, a pálca pedig "visszapattan''. Az emelkedéseket az energiatétel alapján számoljuk:
Az ingára:

\frac{1}{2} m l^{2} \cdot ω_{2}^{2} = m g h_{1} \to h_{1} = \frac{3}{8} l

;
a rúdra :

m g h_{2} / 2 = \frac{1}{2} θ \cdot ω_{2}^{2} \to h_{2} = \frac{1}{4} l

.
Az inga tehát

\frac{3}{8} l

, a rúd végpontja pedig

\frac{1}{4} l

magasra lendül, ellenkező irányokba.