Feladat: 2125. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kégl Balázs ,  Magyari Orsolya ,  Szikrai Szabolcs 
Füzet: 1987/március, 137 - 138. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merev testek ütközése, Tökéletesen rugalmas ütközések, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/április: 2125. fizika feladat

Egymás mellé függesztett fonálinga és merev pálca tömege egyformán m, hosszuk l. A pálcát kitérítjük vízszintes helyzetbe, majd elengedjük. Milyen magasra lendül fel a fonálinga a pálcával együtt, tökéletesen rugalmas ütközés után?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számoljuk ki a pálca szögsebességét az ütközés előtti pillanatban. Nullszintnek a pálca nyugalmi helyzetbeli súlypontjának magasságát választva, az energiatétel alapján:

mgl2=12θω02.(1)
Az adott forgásra nézve a pálca tehetetlenségi nyomatéka 13ml2, így ω0=3gl.
A továbbiakban a feladat megfogalmazása ellentmondásos. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén a pálca és az inga a mozgás későbbi részében nem marad együtt. Ha viszont azt fogadjuk el, hogy nem válnak szét, akkor az ütközés rugalmatlan kell legyen. Az nem fordulhat elő, hogy az ütközés tökéletesen rugalmas és mégis együtt marad a két test.
Vizsgáljuk meg mindkét esetet!
 
 

1. Rugalmatlan ütközés esetén a pálca és a fonálinga az ütközés után is együtt mozog, mert a pálca rezgésszáma lenne a nagyobb, de nem előzheti meg a fonálingát.
A perdület az ütközés során nem változik:
θω0=(θ+ml2)ω1.(2)

Ebből ω1=θω0θ+ml2=143gl az ütközés utáni közös szögsebesség. Az emelkedés során a forgási energia átalakul helyzeti energiává.
A megállás pillanatában (a pálca súlypontja h2-t emelkedik, ha a végpontja h-t):
12(θ+ml2)ω12=mg(h+h2).(3)

Ebből θ és C1 behelyettesítésével h=l12. A pálca végpontja és az inga együttesen tehát l12 magasra lendül a nyugalmi helyzethez viszonyítva.
 
2. Rugalmas ütközés esetén:
Az ütközésre most a perdület megmaradásán kívül az energiamegmaradás is érvényes. Jelölje ω2 az inga, ω3 a rúd szögsebességét az ütközés után.
θω0=ml2ω2+θω3.(5)
12θω02=12ml2ω22+12θω32.(6)
A két egyenletből ω2=12ω0 és ω3=-12ω0, tehát az inga feleakkora szögsebességgel továbblendül, a pálca pedig "visszapattan''. Az emelkedéseket az energiatétel alapján számoljuk:
Az ingára: 12ml2ω22=mgh1h1=38l;
a rúdra : mgh2/2=12θω22h2=14l.
Az inga tehát 38l, a rúd végpontja pedig 14l magasra lendül, ellenkező irányokba.