Feladat: 2107. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Németh Csaba 
Füzet: 1987/március, 129 - 130. oldal  PDF file
Témakör(ök): Centrifugális erő, Egyéb folyadék- és gázáramlás, Elemi függvények differenciálhányadosai, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: 2107. fizika feladat

Függőleges tengelyű, forgási paraboloid alakú magas edény fókuszpontja 0,05 méterre van a tengelypont fölött. Az edénybe kevés vizet töltünk. Mekkora ω szögsebességgel kell az edényt megforgatnunk a tengelye körül, hogy a víz az edény tetején kifolyjon?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A folyadék felszíne forgásfelület, így elegendő egyetlen, a tengelyen áthaladó síkmetszetet vizsgálnunk. Célszerű a mozgást az edényhez rögzített, ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben szemlélnünk, ott a folyadék nyugalomban van. A folyadék felszíne merőleges a felszín kis darabkájára ható erők eredőjére.

 
 

A kiszemelt folyadékdarabkára két erő hat: a nehézségi és a centrifugális erő. Az ábra szerint a tengelytől x0 távolságban a felület meredeksége: tgα=ω2x0g.
Tudjuk, hogy azok a függvények, amelyeknek deriváltja x-ben ω2xg, az y=ω22gx2+C képlettel adhatók meg. Ezek parabolát határoznak meg, amelynek egyenlete y=ω22gx2+C. (Az origót az edény aljához rögzítettük, C=0 vehető, ha a folyadékmennyiség elegendően kicsiny.)
A folyadék kifolyik az edényből ‐ annak magasságától függetlenül ‐ akkor, ha felülete párhuzamos az edény paraboloid falával, ahol a metszet egyenlete y=140,05mx2.
A párhuzamosság feltétele ω22gx2=10,2mx2, ahonnan a szükséges minimális szögsebesség
ω=2g0,2m=9,9s-1

 

Megjegyzések. 1. A kevés mennyiségű vizet néhány megoldó ügyesen használta ki a megoldás során. Volt aki ezzel a teljes vizet "tömegpontnak" nevezte, így az edénybe behelyezett golyó egyensúlyi problémájára tért át. Egy másik megoldónál ez a kis víz csak egy vízszintes síkbeli gyűrűvé húzódott össze.
2. Volt aki nem látta be, hogy bármilyen magasságú edény esetén kifolyhat a víz, így elegendően magas edénnyel szerinte megakadályozható a víz kifolyása.