Kezdőlap


Feladat:	2095. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cynolter Gábor , Czifrus Szabolcs , Piukovics Péter , Tasnádi Tamás , Tóth Tamás , Vadász Dénes
Füzet:	1986/november, 426 - 427. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rugalmas erő, Sikkondenzátor, Egyenáramú műszerek, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: 2095. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kondenzátorlemezek ‐ a töltésmegoszlás miatt ‐ a rákapcsolt feszültség polaritásától függetlenül vonzzák egymást. Egyensúlyi helyzetben a rugóerő ezzel a vonzóerővel azonos nagyságú, de ellenkező irányú (1.ábra).
Vizsgáljuk ezen erők változását! A fellépő elektrosztatikus vonzóerő:

\begin{matrix} F_{e} = \frac{1}{ε_{0}} \frac{Q^{2}}{2 A} = \frac{1}{2} \frac{ε_{0} A U^{2}}{d^{2}} (l . III.  oszt.  tk.  148.  o.), \end{matrix}

(1)

a rugóerő

\begin{matrix} F_{r} = D (d_{0} - d) . \end{matrix}

(2)

Egyensúly esetén

\begin{matrix} D (d_{0} - d) = \frac{1}{2} \frac{ε_{0} A U^{2}}{d^{2}}, \end{matrix}

(2*)

ahonnan

\begin{matrix} U = \sqrt[]{\frac{2 D}{ε_{0} A}} d \sqrt[]{d_{0} - d} & (3) \\ (D = 177 N/m, ε_{0} = 8, 85 \cdot 10^{- 12} As/Vm, A = 1, 6 \cdot 10^{- 2} m^{2}) . \end{matrix}

A lemez

x = d_{0} - d

elmozdulásának függvényében

\begin{matrix} U = \sqrt[]{\frac{2 D}{ε_{0} A}} (d_{0} - x) \sqrt[]{x} . \end{matrix}

(4)

Mivel az

x (U)

összefüggés megállapításához harmadfokú egyenletet kellene megoldanunk, vizsgáljuk inkább az

U (x)

függvényt, amelyből invertálással előállítható

x (U)

2. ábra

3. ábra

Természetesen

x

értéke 0 és

0, 03

m között változhat. A (4) függvény képét a 2. ábra mutatja. (A megfelelő függvényértékeket számítógépes behelyettesítéssel nyerhetjük.) Elemezzük ezt a függvényt!

c = \frac{\sqrt[]{2 D}}{ε_{0} A}

jelöléssel

\begin{matrix} U' (x) = c \frac{1}{2 \sqrt[]{x}} (d_{0} - 3 x), \end{matrix}

ennek alapján a függvénynek

x = \frac{d_{0}}{3}

helyen maximuma van,

0 \leq x < \frac{d_{0}}{3}

esetén szigorúan nő,

x > \frac{d_{0}}{3}

esetén szigorúan csökken. A felvett maximális függvényérték

U_{max} = 10^{5} V

. Nézzük meg, milyen az

U (x)

hozzárendelés! Láthatjuk, hogy minden

U < U_{max}

értékhez két egyenesági

x

érték is tartozik. Mivel

U = 0

-nál

x = 0

, így a rákapcsolt feszültség növelésére a lemezek 2 cm-re megközelítik egymást.

U_{max}

-nál nagyobb feszültség hatására a lemezek összecsapódnak, nincs akkora rugóerő, amely képes lenne a vonzóerőt ellensúlyozni. Egy adott

U < U_{max}

értéknél azonban

0, 01 < x < 0, 03

egyensúly is megvalósulhat, ha valamilyen módon ezt kívülről beállítjuk, de ez az egyensúly labilis.
Az egyensúlyok vizsgálatához ábrázoljuk egy koordináta-rendszerben

(2^{*})

két oldalát (3. ábra).

- U > U_{max}

esetén láthatjuk, hogy a lemez bármelyik helyzetében a vonzóerő nagyobb, mint a rugóerő, így nem valósulhat meg egyensúlyi helyzet;

- U = U_{max}

esetén a két erő

K = 0, 01

m-nél egyenlővé válik, azonban bármelyik irányban mozdítjuk ki a lemezt, a vonzóerő lesz a nagyobb, tehát ez az egyensúlyi helyzet labilis.

- U < U_{max}

esetén két egyensúlyi helyzet (

x_{1}

és

x_{2}

) van.

x_{1} (< 0, 01 m)

esetében a lemezt a rugó felé kitérítve egy kicsit, láthatjuk, hogy a vonzóerő lesz a nagyobb, így az visszaállítja az eredeti helyzetet. Hasonlóan a másik lemez felé kitérítve is visszaáll az eredeti helyzet, mert ekkor a rugóerő nagysága haladja meg a vonzóerőt. Ez az egyensúlyi helyzet tehát stabil. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy

x_{2} (> 0, 01 cm)

esetében a helyzet éppen fordított, tehát ez labilis egyensúlyi helyzet.

Megjegyzések. 1. Ha csak egy átlagos kondenzátort tekintünk, annak átütési szilárdsága

30 000

V/cm, ennek megfelelően csak kb.

79 000

V feszültségig mérhetünk.
2. A műszer skálája nem lesz lineáris, a mérési pontosság

x = 0, 01

m-hez közeledve fokozódik, hiszen ekkor egységnyi feszültség változásra egyre nagyobb elmozdulásokat kapunk.

3. Nagyon sokan nem vették figyelembe, hogy a kondenzátorlemezek között levő tér a lemezeken található töltések terének szuperpozíciójaként áll elő, és így (1)-ben nem osztottak 2-vel. Ezért 1 pontot vontunk le.