Feladat: 2095. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Cynolter Gábor ,  Czifrus Szabolcs ,  Piukovics Péter ,  Tasnádi Tamás ,  Tóth Tamás ,  Vadász Dénes 
Füzet: 1986/november, 426 - 427. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rugalmas erő, Sikkondenzátor, Egyenáramú műszerek, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/január: 2095. fizika feladat

Egyenfeszültség mérésére az ábra szerinti elrendezésben olyan síkkondenzátort használunk, amelynek egyik lemeze rögzített, a másik pedig a lemezek síkjára merőlegesen mozoghat, miközben a szükséges szigetelésekről természetesen gondoskodunk. A rögzített lemezhez egy D=177 N/m rugóállandójú rugót erősítünk. A feszültségmérés a lemezek közti távolság változása alapján történik. Ábrázoljuk a lemezek elmozdulását a feszültség függvényében! Diszkutáljuk az eredményt! A lemezek területe A=1,6 dm2, továbbá U=0 V esetén a lemezek távolsága d=3 cm, és ekkor a rugó nyújtatlan.
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kondenzátorlemezek ‐ a töltésmegoszlás miatt ‐ a rákapcsolt feszültség polaritásától függetlenül vonzzák egymást. Egyensúlyi helyzetben a rugóerő ezzel a vonzóerővel azonos nagyságú, de ellenkező irányú (1.ábra).
Vizsgáljuk ezen erők változását! A fellépő elektrosztatikus vonzóerő:

Fe=1ε0Q22A=12ε0AU2d2(l.III.  oszt.  tk.  148.  o.),(1)
a rugóerő
Fr=D(d0-d).(2)
Egyensúly esetén
D(d0-d)=12ε0AU2d2,(2*)
ahonnan

U=2Dε0Add0-d(3)(D=177N/m,ε0=8,8510-12As/Vm,A=1,610-2m2).



A lemez x=d0-d elmozdulásának függvényében
U=2Dε0A(d0-x)x.(4)

Mivel az x(U) összefüggés megállapításához harmadfokú egyenletet kellene megoldanunk, vizsgáljuk inkább az U(x) függvényt, amelyből invertálással előállítható x(U).
 
 
2. ábra
 

 
 
3. ábra
 

Természetesen x értéke 0 és 0,03 m között változhat. A (4) függvény képét a 2. ábra mutatja. (A megfelelő függvényértékeket számítógépes behelyettesítéssel nyerhetjük.) Elemezzük ezt a függvényt! c=2Dε0A jelöléssel
U'(x)=c12x(d0-3x),
ennek alapján a függvénynek x=d03 helyen maximuma van, 0x<d03 esetén szigorúan nő, x>d03 esetén szigorúan csökken. A felvett maximális függvényérték Umax=105 V. Nézzük meg, milyen az U(x) hozzárendelés! Láthatjuk, hogy minden U<Umax értékhez két egyenesági x érték is tartozik. Mivel U=0-nál x=0, így a rákapcsolt feszültség növelésére a lemezek 2 cm-re megközelítik egymást. Umax-nál nagyobb feszültség hatására a lemezek összecsapódnak, nincs akkora rugóerő, amely képes lenne a vonzóerőt ellensúlyozni. Egy adott U<Umax értéknél azonban 0,01<x<0,03 egyensúly is megvalósulhat, ha valamilyen módon ezt kívülről beállítjuk, de ez az egyensúly labilis.
Az egyensúlyok vizsgálatához ábrázoljuk egy koordináta-rendszerben (2*) két oldalát (3. ábra).
-U>Umax esetén láthatjuk, hogy a lemez bármelyik helyzetében a vonzóerő nagyobb, mint a rugóerő, így nem valósulhat meg egyensúlyi helyzet;
-U=Umax esetén a két erő K=0,01 m-nél egyenlővé válik, azonban bármelyik irányban mozdítjuk ki a lemezt, a vonzóerő lesz a nagyobb, tehát ez az egyensúlyi helyzet labilis.
-U<Umax esetén két egyensúlyi helyzet (x1 és x2) van. x1(<0,01 m) esetében a lemezt a rugó felé kitérítve egy kicsit, láthatjuk, hogy a vonzóerő lesz a nagyobb, így az visszaállítja az eredeti helyzetet. Hasonlóan a másik lemez felé kitérítve is visszaáll az eredeti helyzet, mert ekkor a rugóerő nagysága haladja meg a vonzóerőt. Ez az egyensúlyi helyzet tehát stabil. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy x2(>0,01 cm) esetében a helyzet éppen fordított, tehát ez labilis egyensúlyi helyzet.
 


Megjegyzések. 1. Ha csak egy átlagos kondenzátort tekintünk, annak átütési szilárdsága 30000 V/cm, ennek megfelelően csak kb. 79000 V feszültségig mérhetünk.
2. A műszer skálája nem lesz lineáris, a mérési pontosság x=0,01 m-hez közeledve fokozódik, hiszen ekkor egységnyi feszültség változásra egyre nagyobb elmozdulásokat kapunk.

3. Nagyon sokan nem vették figyelembe, hogy a kondenzátorlemezek között levő tér a lemezeken található töltések terének szuperpozíciójaként áll elő, és így (1)-ben nem osztottak 2-vel. Ezért 1 pontot vontunk le.