Kezdőlap


Feladat:	2062. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/március, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tömegközéppont mozgása, Rugalmas erő, Csúszó súrlódás, Egyenletesen gyorsuló rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: 2062. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy pl. a bal oldali testet jobbra lökjük. A rugó egyensúlyi hossza $L$ .

Írjuk fel a mozgásegyenletet, mindkét testre külön-külön:

\begin{matrix} m_{1} a_{1} = - D [L - (x_{2} - x_{1})] - μ m_{1} g, & (1) \\ m_{2} a_{2} = D [L - (x_{2} - x_{1})] - μ m_{2} g, & (2) \end{matrix}

ahol

a_{1}

és

a_{2}

az egyes ládák pillanatnyi gyorsulása a talajhoz (

0

ponthoz) képest. A pozitív irányt az ábrán jobbra vettük fel, így a súrlódási erők mindkét egyenletben negatív előjelűek, a feladat feltételeivel megegyezően. A két egyenletből kifejezve

a_{1}

-et és

a_{2}

-t, valamint bevezetve az

x = x_{2} - x_{1} - L

rugóhossz-változást, a gyorsulások különbségére a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} a = a_{2} - a_{1} = - D (1 / m_{1} + 1 / m_{2}) \cdot x, \end{matrix}

ahol

a

a ládák relatív gyorsulása.
Bevezetve az

ω^{2} = D (1 / m_{1} + 1 / m_{2})

jelölést, látható, hogy a relatív gyorsulásra kapott mozgásegyenlet olyan csillapítatlan harmonikus rezgőmozgást ír le, amelynek a körfrekvenciája

ω

. A rezgés egyensúlyi helyzetében

x = x_{2} - x_{1} - L = 0

.
Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását és egyben meghatároztuk a kialakuló rezgés körfrekvenciáját.
A bizonyítás során kihasználtuk, hogy a súrlódási erők azonos irányúak és a relatív gyorsulás számításánál kiesnek.
Vizsgáljuk meg a súlypont mozgását! Az (1) és a (2) egyenlet összegéből a súlypont gyorsulása:

\begin{matrix} a_{s} = \frac{m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2}}{m_{1} + m_{2}} = - μ g, \end{matrix}

a rendszer súlypontja

μ g

lassulással halad jobbra.
Ki tudjuk számolni az egyes ládák gyorsulását is a kezdőfeltételek ismeretében. Legyen a lökés utáni pillanatban

(t = 0)

a hátsó láda kezdősebessége

v_{0}

. A rugóhossz-változás időfüggése

x (t) = A \cdot sin ω t + B \cdot cos ω t

alakú, ahol

A

és

B

a kezdőfeltételekből határozható meg. A relatív sebesség

v (t) = A ω cos ω t - B ω sin ω t

módon függ az időtől és a

t = 0

pillanatban

v (t = 0) = A ω = v_{0}

. Innen

A = v_{0} / ω

. Másrészt

x (t = 0) = B = 0

, hiszen még egyensúlyi helyzetben van a rugó. Így a relatív mozgás időfüggése az adott kezdőfeltételekkel

x (t) = (v_{0} / ω) \cdot sin ω t

, a relatív gyorsulása:

a (t) = - v_{0} ω \cdot sin ω t = - ω^{2} x (t)

. Végül a ládák gyorsulása az (1) és (2) egyenletek alapján

\begin{matrix} a_{1} = - μ g + (D / m_{1}) \cdot (v_{0} / ω) \cdot sin ω t, és \\ a_{2} = - μ g - (D / m_{2}) \cdot (v_{0} / ω) \cdot sin ω t . \end{matrix}

Természetesen fentebb leírt mozgás (rezgés) csak addig valósul meg, amíg a testek sebességének iránya valóban a súlypont sebességével azonos irányú.
Ezután a rezgés tovább folytatódik, de ekkor a relatív gyorsulást már befolyásolja a súrlódás, a rezgés csillapított lesz. A rendszer mozgási- és rugóenergiája hő formájában disszipálódik.

Megjegyzés. Többen helyes megoldást adtak, felhasználva a Newton II. törvényének gyorsuló vonatkoztatási rendszerben érvényes alakját. (Lásd Fizika II. tankönyv 118‐119. old.) A súlypont gyorsulása

a_{s} = \sum_{i}^{} F_{i} / \sum_{i}^{} m_{i}

, ahol az

F_{i}

-k a külső erők;

\sum_{i}^{} F_{i} = - μ (m_{1} + m_{2}) g

, így

a_{s} = - μ g

, az előző megoldással egyezően. Gyorsuló koordináta-rendszerben fel kell venni minden egyes testre az ún. fiktív erőket:

F_{1} = - m_{1} a_{s}

, és

F_{2} = - m_{2} a_{s}

, amelyek éppen a súrlódási erőkkel egyeznek meg, csak ellentétes irányúak. Tehát ebben a koordináta-rendszerben az egyes testekre csak a rugóerő hat, így a rezgés csillapítatlan lesz.