Kezdőlap


Feladat:	2029. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czifrus Szabolcs
Füzet:	1986/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vastag lencse, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: 2029. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fénysugár párhuzamos eltolódása miatt az ábrán jelölt kétíves szögek egyenlőek:

\begin{matrix} α_{1} - β_{1} = α_{2} - β_{2} . \end{matrix}

(1)

A Snellius‐Descartes törvény szerint

\begin{matrix} \frac{sin α_{1}}{sin β_{1}} = \frac{sin α_{2}}{sin β_{2}} = n . \end{matrix}

(2)

Felhasználva a

\begin{matrix} sin x \cdot sin y = (1 / 2) [cos (x - y) - cos (x + y)] \end{matrix}

trigonometrikus azonosságot, könnyen adódik, hogy az (1)‐(2)egyenletrendszernek csak egyetlen megoldása van, mégpedig

\begin{matrix} α_{1} = α_{2} = α; β_{1} = β_{2} = β, \end{matrix}

ahonnan

ε_{1} = ε_{2}

is következik. A feladat szerint

α = 60^{\circ}

, így a (2) egyenletből

\begin{matrix} sin β = \frac{sin α}{n} = \frac{sin 60^{\circ}}{1, 5} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}, β \approx 35, 3^{\circ} . \end{matrix}

O O_{1} B

és az

O O_{2} A

háromszögek hasonlósága miatt

\begin{matrix} \frac{O O_{1}}{O O_{2}} = \frac{O_{1} B}{O_{2} A} = \frac{r_{1}}{r_{2}}, \end{matrix}

(3)

és nyilván

\begin{matrix} O O_{1} + O O_{2} = r_{1} + r_{2} - d . \end{matrix}

(4)

A fenti egyenletrendszerből

\begin{matrix} O O_{1} = r_{1} \frac{r_{1} + r_{2} - d}{r_{1} + r_{2}} \approx 2, 12 cm . \end{matrix}

O O_{1} B

háromszögből

\begin{matrix} sin γ = \frac{r_{1} sin β}{O O_{1}} = \frac{3 cm \cdot sin 35, 3^{\circ}}{2, 12 cm}, γ \approx 125, 1^{\circ}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} ε = 180^{\circ} - (β + γ) \approx 19, 6^{\circ}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} O B = \frac{r_{1} sin ε}{sin γ} = \frac{3 cm \cdot sin 19, 6^{\circ}}{sin 125, 1^{\circ}} \approx 1, 23 cm . \end{matrix}

A (3) összefüggéshez hasonlóan

\begin{matrix} \frac{O A}{O B} = \frac{O_{2} A}{O_{1} B} = \frac{r_{2}}{r_{1}}, \end{matrix}

ezért a fénysugárnak az üvegben megtett útja

\begin{matrix} A B = O A + O B = O B (1 + \frac{r_{2}}{r_{1}}) \approx 3, 49 cm . \end{matrix}

l

párhuzamos eltolódás az

A' B A

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} l = A' B = A B \cdot sin (α - β) \approx 3, 49 cm \cdot sin (60^{\circ} - 35, 3^{\circ}) \approx 1, 46 cm . \end{matrix}

Czifrus Szabolcs (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o. t.)