Kezdőlap


Feladat:	2026. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Péter
Füzet:	1986/január, 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés (Merev testek kinematikája), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: 2026. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egész jojó tömege $m$ , tehetetlenségi nyomatéka $Θ$ . Hanyagoljuk el a himbálózást és a fonal dőlésszögét! Az ábrán megrajzoltuk a jojóra ható erőket.

A jojóra vonatkozó mozgásegyenletek a következők:

\begin{matrix} m a = m g - K, \\ Θ β = K r . \end{matrix}

Mivel a fonal nem gyorsul, a kényszerfeltétel:

\begin{matrix} a = β r \end{matrix}

A fenti egyenletekből

\begin{matrix} a = \frac{g}{1 + Θ / m r^{2}} . \end{matrix}

Számoljuk ki

Θ

-t! A jojó tehetetlenségi nyomatéka megegyezik a

3

henger tehetetlenségi nyomatékának összegével, vagyis

\begin{matrix} Θ = (1 / 2) M_{1} r^{2} + 2 \cdot (1 / 2) M_{2} R^{2} . \end{matrix}

Homogén jojót feltételezve

\begin{matrix} M_{2} / M_{1} = R^{2} / r^{2}; 2 M_{2} + M_{1} = m, \end{matrix}

ahol

M_{1}

a középső,

M_{2}

a két szélső henger tömege. Innen

\begin{matrix} \frac{Θ}{m r^{2}} = \frac{r^{2}}{4 R^{2} + 2 r^{2}} + \frac{R^{4} / r^{2}}{2 R^{2} + r^{2}} = 2, 93, \end{matrix}

így (

g = 9, 81 {m/s}^{2}

értékkel számolva)

a = 2, 49 {m/s}^{2}

.
Mivel le- és felfelé menet ugyanolyan erők hatnak, a le-és felfelé haladás ideje megegyezik.

l = (a / 2) t^{2}

alapján

t = \sqrt[]{2 l / a}

; a teljes idő

2 \sqrt[]{2 l / a} = 1, 8 s

Megjegyzés. Sok megoldónk modellezte az átfordulást. Bármely modell alapján számolt átfordulási idő lényegesen kisebb, mint az általunk kiszámolt idő, ezért elhanyagolható.