Kezdőlap


Feladat:	2023. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Ákos
Füzet:	1986/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Rugalmas energia, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: 2023. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljunk először csak egy egyszerű gumiszálat, illetve acélszálat.
Viszonylag kis megnyúlásukat közelítően a Hooke-törvény írja le:

\begin{matrix} x = (F / A) \cdot (l_{o} / E), \end{matrix}

ahol

A

a szál keresztmetszete,

E

a Young-modulusza,

l_{o}

az eredeti hossza és

F

a szálban ébredő erő. A szálban tárolt rugalmas energiát az

F (x)

függvény alatti területet adja (1. ábra):

\begin{matrix} W = \frac{F_{max} \cdot x_{max}}{2} = \frac{A E}{2 l_{o}} \cdot x_{max}^{2} = \frac{l_{o}}{2 A E} \cdot F_{max}^{2} . \end{matrix}

1. ábra

A mozgás során ez az energia alakul valamilyen

η

hatásfokkal a kavics

(1 / 2) m v^{2}

mozgási energiájává. Nem túl nagy megnyúlás és viszonylag könnyű gumi-, ill. acélszál esetén

η \approx 1

, így

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{l_{o}}{2 A E} \cdot F_{m a x}^{2} . \end{matrix}

F_{max}

a feladat feltételei szerint azonos acél- és gumiszálnál is. Legyenek a geometriai adatok is (

l_{0}, A

) azonosak! Ekkor ugyanolyan

m

tömegű kavics esetén egyedül

E

határozza meg a kilövésekor elért

v

sebességet, így azt is, hogy milyen messze száll a kő. Az acélra

E

több nagyságrenddel nagyobb, mint gumira, így a kezdősebesség jóval kisebb lesz, ami használhatatlanná teszi az acélcsúzlit. Ha a Young-moduluszok arányában csökkentenénk az acélszál keresztmetszetét ‐ vagyis úgy, hogy

A E

egyenlő legyen mindkét szálra ‐ , akkor is a gumiszál volna előnyösebb, az acél ugyanis már kb. 1

%

relatív megnyúlásnál elszakad (a Függvénytáblázat adatai szerint).

2. ábra

A valóságos csúzlira a szálat a 2. ábrán látható módon erősítik fel. A Hooke törvényre vonatkozó meggondolásunk közelítően itt is igaz, külön-külön az I, ill. a II szalagrészre, most azonban az indításban a fellépő erőknek csak az előre mutató komponense játszik szerepet.
Gumi esetén a megnyúlás nagyobb, így a

β

szög kisebb, mint

α

a mozgás jelentős részén, tehát nagyobb lesz ugyanazon

F

erőnek az előre mutató komponense is, ami szintén a gumi mellett szól.