Kezdőlap


Feladat:	2020. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gergely
Füzet:	1986/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Dobozba zárt részecske, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: 2020. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ , oldalhosszúságú téglatest alakú dobozba zárt elektron $E$ energiája

\begin{matrix} E = \frac{h^{2}}{8 m} (\frac{n_{a}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{b}^{2}}{b^{2}} + \frac{n_{c}^{2}}{c^{2}}) \end{matrix}

(1)

értékű lehet, ahol

m

az elektron tömege,

h

a Planck-állandó,

n_{a}

n_{b}

n_{c}

tetszőleges pozitív egész számok. Rögzített

n_{a}

n_{b}

n_{c}

számok esetén az elektron energiája csak a doboz

a

b

c

geometriai méreteitől függ.
Jelöljük az

a

hosszúságú élre merőleges lapra ható nyomást

p_{b c}

-vel, és gondolatban növeljük meg a doboz térfogatát úgy, hogy az

a

oldalt

Δ a

-val megnyújtjuk. Ekkora doboz térfogata

Δ V = b c Δ a

-val változik meg, és az elektron

\begin{matrix} Δ W = - p_{b c} Δ V \end{matrix}

(2)

munkát végez. Ugyanakkor energiájának megváltozása

\begin{matrix} Δ E = E (a + Δ a, b, c) - E (a, b, c) = & (3) \\ = \frac{h^{2}}{8 m} [\frac{n_{a}^{2}}{{(a + Δ a)}^{2}} + \frac{n_{b}^{2}}{b^{2}} + \frac{n_{c}^{2}}{c^{2}}] - \frac{h^{2}}{8 m} [\frac{n_{a}^{2}}{a^{2}} + \frac{n_{b}^{2}}{b^{2}} + \frac{n_{c}^{2}}{c^{2}}] = \frac{h^{2} n_{a}^{2}}{8 m} [\frac{1}{{(a + Δ a)}^{2}} - \frac{1}{a^{2}}] = \\ = \frac{h^{2} n_{a}^{2}}{8 m a^{2}} [\frac{1}{{(1 + \frac{Δ a}{a})}^{2}} - 1] \approx \frac{h^{2} n_{a}^{2}}{4 m a^{3}} Δ a, \end{matrix}

ahol felhasználtuk az alábbi közelítést:

\begin{matrix} \frac{1}{{(1 + \frac{Δ a}{a})}^{2}} \approx 1 - \frac{2 Δ a}{a} . \end{matrix}

Az energiamegmaradás miatt

\begin{matrix} Δ W = E, \end{matrix}

azaz a (2) és (3) egyenlet felhasználásával

\begin{matrix} - \frac{h^{2} n_{a}^{2}}{4 m a^{3}} Δ a = - p_{b c} b c Δ a, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p_{b c} = \frac{h^{2} n_{a}^{2}}{4 m V} \end{matrix}

(4)

értékű lehet, ahol

V = a b c

a doboz térfogata.
Hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{a c} = \frac{h^{2} n_{b}^{2}}{4 m V b^{2}}, p_{a b} = \frac{h^{2} n_{c}^{2}}{4 m V c^{2}} . \end{matrix}