Feladat: 2020. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ambrus Gergely 
Füzet: 1986/február, 84 - 85. oldal  PDF file
Témakör(ök): Dobozba zárt részecske, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: 2020. fizika feladat

Határozzuk meg egy téglatest alakú dobozba zárt elektron által a doboz falaira kifejtett nyomást!
 


Az a, b, c, oldalhosszúságú téglatest alakú dobozba zárt elektron E energiája
E=h28m(na2a2+nb2b2+nc2c2)(1)
értékű lehet, ahol m az elektron tömege, h a Planck-állandó, na, nb, nc tetszőleges pozitív egész számok. Rögzített na, nb, nc számok esetén az elektron energiája csak a doboz a, b, c geometriai méreteitől függ.
Jelöljük az a hosszúságú élre merőleges lapra ható nyomást pbc-vel, és gondolatban növeljük meg a doboz térfogatát úgy,hogy az a oldalt Δa-val megnyújtjuk. Ekkora doboz térfogata ΔV=bcΔa-val változik meg, és az elektron
ΔW=-pbcΔV(2)
munkát végez. Ugyanakkor energiájának megváltozása
ΔE=E(a+Δa,b,c)-E(a,b,c)=(3)=h28m[na2(a+Δa)2+nb2b2+nc2c2]-h28m[na2a2+nb2b2+nc2c2]=h2na28m[1(a+Δa)2-1a2]==h2na28ma2[1(1+Δaa)2-1]h2na24ma3Δa,


ahol felhasználtuk az alábbi közelítést:
1(1+Δaa)21-2Δaa.

Az energiamegmaradás miatt
ΔW=E,
azaz a (2) és (3) egyenlet felhasználásával
-h2na24ma3Δa=-pbcbcΔa,
ahonnan
pbc=h2na24mVa2,(na=1,2,3,...)(4)
értékű lehet, ahol V=abc a doboz térfogata.
Hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy
pac=h2nb24mVb2,pab=h2nc24mVc2.

 
 Ambrus Gergely (Bp., József A. Gimn., IV. o. t.)