Feladat: 2015. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Király Andrea 
Füzet: 1985/december, 477 - 478. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: 2015. fizika feladat

Az ábrán látható rendszerben az A=1 dm2 alapterületű, az egyik végén zárt, m=4 kg tömegű hengerbe egy könnyen mozgó dugattyúval V=1 liter térfogatú ideális gázt zártunk. A külső légnyomás p0=105 Pa. A dugattyú szára egy függőleges tengelyhez van rögzítve. Nyugalomban a henger súlypontja r0=0,5 m-re van a tengelytől. A függőleges tengelyt ω=15,4 s-1 állandó szögsebességgel forgatjuk.
 
 

a) Forgás közben a tengelytől mekkora távolságban van a henger egyensúlyban?
b) Milyenek az egyensúlyi helyzetek a stabilitása szempontjából?

A forgásmentes esetben a dugattyú és a henger alaplapjának távolsága x0=0,1m. A forgás során ez megváltozik. Természetesen a súlypont távolsága is ennek megfelelően nő a tengelytől mérve. Ekkor
r=r0+x-x0,
ahol r a súlypont új távolsága, x pedig a dugattyú távolsága a henger alapjától. Innen
x=r-r0+x0.(1)

 
 

Írjuk fel a Boyle‐Mariotte törvényt a bezárt levegőre, amelynek nyomása a mozgás során p:
Axp=Ax0p0.(2)
(1) és (2) felhasználásával
p=x0p0r-r0+x0.(3)

Határozzuk meg r-et abban az esetben, amikor a henger egyensúlyban van! Ekkor az Fcp=mω2r centripetális erőt a nyomáskülönbségből származó Fny=A(p0-p) erő szolgáltatja. (3) felhasználásával
mω2r=Ap0r-r0r-r0+x0.(4)
Ezt az összefüggést átalakítva az r távolságra egy másodfokú egyenletet kapunk, amelynek gyökei:
r1=0,69m,r2=0,77m.

Most vizsgáljuk az egyensúlyi helyzetek stabilitását! Az egyensúlyi helyzet akkor stabil, ha kis kimozdítás esetén a test visszatér ebbe a helyzetbe; azaz ha kis kitérítés esetén az egyensúlyi helyzetbe visszatérítő erő hat a testre.
 
 

r függvényében ábrázoltuk az Fcp centripetális erőt és a nyomáskülönbségből adódó Fny erőt! (4) alapján
Fcp=mω2r;Fny=Ap0r-r0r-r0+x0.

Az ábráról leolvasható, hogy az 1. esetben kis kimozdítás esetén az erő visszafelé, az egyensúlyi pont felé mutat, míg a 2. esetben ez pont fordítva van. Ez azt jelenti, hogy az r1=0,69 m stabil egyensúlyi helyzet, az r2=0,77 m pedig instabil.
 

 Király Andrea (Bp. Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)