Kezdőlap


Feladat:	2014. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Péter , Tóth Péter
Füzet:	1985/december, 476. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Tömegközéppont helye, Pontrendszer helyzeti energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: 2014. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A stabilitás feltétele, hogy a rudat kicsiny $φ$ szöggel kimozdítva, az visszatérjen eredeti (függőleges) helyzetébe. (L. az ábrát!) Kitérítéskor a rúd súlypontja $(l / 2) (1 - cos φ)$ -vel kerül lejjebb, a testé $(x - h)$ -val feljebb. A stabil egyensúly feltétele: $M g (x - h) > m g (l / 2) (1 - cos φ) .$

Használjuk fel, hogy

φ ≪ 1

(a jelöléseket lásd Gnädig Péter márciusi cikkében). Ekkor

cos φ = 1 - (φ^{2} / 2) + O (φ^{4}),

így az egyenlőtlenség jobb oldala:

(m g l / 4) φ^{2} + O (φ^{4})

x

meghatározásához használjuk a koszinusztételt:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{l^{2} + {(h + l)}^{2} - 2 (h + l) l cos φ} = \\ = h \sqrt[]{1 + \frac{(l + h) l}{h^{2}} φ^{2} + O (φ^{4})} = h (1 + \frac{l (l + h)}{2 h^{2}} φ^{2}) + O (φ^{4}) . \end{matrix}

Behelyettesítve a fenti egyenlőtlenségbe:

\begin{matrix} M g \cdot \frac{l (l + h)}{2 h} φ^{2} + O (φ^{4}) > m g \frac{1}{4} φ^{2} + O (φ^{4}) . \end{matrix}

Ennek teljesüléséhez szükséges, hogy

M ≧ \frac{m}{2} \cdot \frac{h}{l + h}

legyen, és elegendő, hogy fennálljon

\begin{matrix} M > \frac{m}{2} \cdot \frac{h}{l + h} . \end{matrix}