Feladat: 2014. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Péter ,  Tóth Péter 
Füzet: 1985/december, 476 - 477. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Tömegközéppont helye, Pontrendszer helyzeti energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: 2014. fizika feladat

Határozzuk meg, hogy az ábra szerinti elrendezésben mekkora legyen a M tömeg, ha azt akarjuk, hogy a m tömegű, homogén anyageloszlású pálca stabil egyensúlyban álljon a talajon? (A pálca alsó vége tengelyezve van.)
 
 

A stabilitás feltétele, hogy a rudat kicsiny φ szöggel kimozdítva, az visszatérjen eredeti (függőleges) helyzetébe. (L. az ábrát!) Kitérítéskor a rúd súlypontja (l/2)(1-cosφ)-vel kerül lejjebb, a testé (x-h)-val feljebb. A stabil egyensúly feltétele: Mg(x-h)>mg(l/2)(1-cosφ).
 
 

Használjuk fel, hogy φ1 (a jelöléseket lásd Gnädig Péter márciusi cikkében). Ekkor cosφ=1-(φ2/2)+O(φ4), így az egyenlőtlenség jobb oldala: (mgl/4)φ2+O(φ4). x meghatározásához használjuk a koszinusztételt:

x=l2+(h+l)2-2(h+l)lcosφ==h1+(l+h)lh2φ2+O(φ4)=h(1-l(l+h)2h2φ2)+O(φ4).



Behelyettesítve a fenti egyenlőtlenségbe:
Mgl(l+h)2hφ2+O(φ4)>mg14φ2+O(φ4).
Ennek teljesüléséhez szükséges, hogy Mm2hl+h legyen, és elegendő, hogy fennálljon
M>m2hl+h.

 

 Tóth Péter (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., II. o. t.)