Feladat: 2013. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Németh Csaba 
Füzet: 1985/december, 475 - 476. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ideális gáz állapotegyenlete, p arányos V-vel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: 2013. fizika feladat

Egy ideális gáz termodinamikai folyamatban vesz részt. Ezt a folyamatot a p-V síkon ábrázolva olyan grafikont kapunk, amelynek egyenlete:
p(V)=p0-αV,
ahol α tetszőleges valós együttható, p0 pedig pozitív konstans.
Határozzuk meg a folyamat során létrejövő maximális hőmérsékletet, és azt, hogy az milyen térfogat esetén következik be!

Ha α=0, akkor a feladatnak nincs megoldása, hiszen állandó nyomáson T/V= konst., így a térfogat növelésével elvileg tetszőleges hőmérséklet elérhető. Ezért feltehetjük, hogy α0.
Az ideális gázok állapotegyenletéből
T=pV/Nk.(1)
A vizsgált folyamatban p(V)=p0-αV, így (1) alapján
T(V)=(p0-αV)VNk.
Teljes négyzetté való átalakítás után
T(V)=-αNk(V-p02α)2+p024αNk.(2)

α<0 esetén ez egy egyenes állású parabola egyenlete, amelynek csak minimuma van.
α>0 esetén (2) egy fordított állású parabola egyenlete, amely maximumát jól láthatóan a V=p0/2α helyen veszi fel. Az elérhető maximális hőmérséklet pedig
Tmax=p024αNk.

 

 Németh Csaba (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., I. o. t.)
 
Megjegyzés. A megoldók nagy része megfeledkezett α lehetséges értékeinek diszkussziójáról. A feladat szövege nem zárta ki az α0 eseteket sem. Egy feladatot akkor tekinthetünk megoldottnak, ha a paraméterek összes lehetséges értékénél meghatároztuk a megoldást.