Feladat: 2008. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Czigány Zsolt ,  Ligeti Zoltán ,  Miró József ,  Németh-Buhin Ákos ,  Pfeil Tamás ,  Szabó Szabolcs ,  Szolnoki Attila 
Füzet: 1985/december, 472 - 473. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sikkondenzátor, Térerősség és erő, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Egyéb statisztikus fizika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: 2008. fizika feladat

Két, A felületű, egymástól d távolságban levő, U feszültségű telepre kapcsolt fémlemez között vízszintesen egy vékony, ε=1 relatív dielektromos állandójú szigetelőlap, azon n darab, elhanyagolható súrlódással csúszó, r sugarú, m tömegű mozgó fémgolyó van. A golyók és a fémlapok közötti ütközési állandó k (a golyók ütközéskor energiájuk k-szorosát tartják meg). Milyen függvénye az átlagos áramerősség U-nak és k-nak? (A golyók egymással nem ütköznek össze.)
 
 


A feladat megoldása során néhány közelítést kell tennünk, hogy a problémát kezelni tudjuk.
A golyók sugara a kondenzátorlemezek távolságához képest igen kicsi (rd), a golyók által szállított töltések kicsinyek, így elektromos terük elhanyagolható a lemezek közötti homogén térhez képest.
A golyók közötti kölcsönhatások figyelmen kívül hagyhatók.
Nézzük meg, hogyan működik modellünk! Egy golyó kondenzátorlemezek közötti mozgása a következőképpen magyarázható: nekiütődve pl. a pozitív lemeznek, leadja a másik lemezről szállított negatív töltését, kapacitásának és a lemez potenciáljának megfelelően feltöltődik, majd az azonos előjelű töltések közötti taszítás hatására gyorsulni kezd a másik lemez felé. Ott mindez fordítva játszódik le.
 
 

Stacionárius (időben állandó) állapotban a golyó éppen akkora energiát veszít ütközéskor, mint amekkorát az elektromos tér végez rajta. Így a v0 maximális sebességre
QU=(1-k)(1/2)mv02.(1)
A lemezek közötti tér erőssége E=U/d,így a golyók gyorsulása
a=QE/m=QU/md.(2)
A visszapattanás sebességére, v1-re az ütközésből következtethetünk:
k(1/2)mv02=(1/2)mv12,azazv1=kv0.(3)

A lemezek közötti út befutása alatt a golyó sebessége v1-ről v0-ra nő. Az ehhez szükséges idő a fentiek alapján
t=v0-v1a=v0(1-k)mdQU.(4)
Az eredő áramerősség létrehozásában n golyó vesz részt, így
I=nQt=nQ2Uv0(1-k)md.(5)

Az (1) egyenletet felhasználva
I=nd2m1-k(1-k)Q(3/2)U(1/2).

Az egy golyó által szállított töltés (Q) a feszültséggel arányos, így az átlagos áramerősség 1-k1-kU2-tel arányos.
 

 Németh-Buhin Ákos (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)